B-smooth 数

题目描述

小杨同学想寻找一种名为 B-smooth 数的正整数。

如果一个正整数的最大质因子不超过 B，则该正整数为 B-smooth 数。小杨同学想知道，对于给定的 n 和 B，有多少个不超过 n 的 B-smooth 数。

输入格式

第一行包含两个正整数 n 和 B，含义如题面所示。

输出格式

输出一个非负整数，表示不超过 n 的 B-smooth 数的数量。

输入输出样例

输入 #1

10 3

输出 #1

7

说明/提示

数据规模与约定

子任务	得分	𝑛≤n≤	𝐵B
1	30	10^3	1≤B≤10^3
2	30	10^6	sqrt(n)​≤B≤10^6
3	40	10^6	1≤B≤10^6

对全部的测试数据，保证 1≤n,B≤10^6。

做法一：线性

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int>p;
int n,b;
bool c[1000010],v[1000010];
void init()
{
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	{
		if(!c[i])
		{
			p.push_back(i);
			if(i>b)
				v[i]=true;
		}
		for(auto e:p)
		{
			int t=i*e;
			if(t>1000000)
				break;
			c[t]=true;
			if(v[i]||v[e])
				v[t]=true;
			if(i%e==0)
				break;
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>b;
	init();
	int cnt=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cnt-=v[i];
	cout<<cnt;
	
	return 0;
}

关键词：逆向思维，边筛边算

逆向思维：题目要求的是B-smooth数，我们可以求出非B-smooth数，用n减去这个数量。B-smooth数的定义是最大质因子不超过b，隐含了任何质因子都不超过b，于是非B-smooth数就是有至少一个质因子大于b就够了。

边筛边算：利用筛法特性记录信息。v记录了i是否是非B-smooth数。

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做法二：埃氏

#include <iostream>
using namespace std;

const int m=1000000;
int c[m];
void init()
{
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(c[i]==0)
		{
			c[i]=i;
			for(int j=2;j<=m;j++)
			{
				long long t=1ll*i*j;
				if(t>m)
					break;
				c[t]=i;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	int n,b;
	cin>>n>>b;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(c[i]<=b)
			cnt++;
	cout<<cnt;
	
	return 0;
}

关键词：夹带私货，适当调整

夹带私货：将原本用于判断i是否是合数，此处我们可以将它改为int类型，用于记录i的最大质因子。这也是由于埃氏筛法的一个性质，每一个数都会被他所有的质因子筛一遍（正版不是这样，后面会说到），所以经过覆盖，c数组中存的数就成了i的最大质因子。

适当调整：正版的埃氏筛不是这样的，第二层循环本应从i开始。虽然这样做效率会高一些，但效率高的原因是每个数只被最小质因子筛了，c数组里存的就成了最小质因子，所以需要省去这个优化才能得出正确结果。

其他：当实在查不出错是重写一遍，要么写着写着发现问题，要么写完就过了……真的！