[每日一题]93：X 星人的基因（动归）

题目描述（京东2020-08-06）

X星人的基因由A、B、C、D、E五种不同的结构组合而成。

如果两个性别不同的X星人的基因序列相似度大于50%，按照X星的法律他们是禁止结婚的，等于50%据说还是可以的。

那么基因的相似度怎么计算呢？分别从两个人身上取长度均为N的基因片段，如果它们的最长公共子序列（注意，最长公共子序列不需要连续）的长度为M，则相似度= M / N。是不是很简单呢？

现在给你两段X星人的基因序列片段，请你判断他们是不是可以结婚？

输入描述

单组输入。
每一组测试数据包含3行:
第1行数字N表示待比较基因序列片段的长度，N<=10-3。
第2行和第3行为两个长度为N的基因序列片段，中间以空格隔开。

输出描述

先输出相似度，结果保留两位小数(四舍五入) ，然后输出判断结果(中间以空格隔开)，如果可
以输出"Yes"，如果不可以输出"No"。

样例输入
6
A B C D E E
A E D C B B
样例输出
0.33 Yes

题解思路

子序列形式化定义：

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4…,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4…,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,…,ik>对所有的1,2,3,…,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

比如说求ABCBDAB和BDCABA的最长公共子序列（LCS）: BCAB

• 在对应字符相等的时候，用↖标记（如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j–）
• 在p1 >= p2的时候，用↑标记（如果箭头是↑ ，则代表这个字符不是LCS的一员，i–）
• 在p1 < p2的时候，用←标记（如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j–）

如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符

时间复杂度：

由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度，所以时间复杂度为O（m*n）

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
	int N;
	while (cin >> N) {
		vector<char> v1(N);
		vector<char> v2(N);
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			cin >> v1[i];
		}
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			cin >> v2[i];
		}

		vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(N + 1));

		for (int i = 0; i < N; i++) {
			for (int j = 0; j < N; j++) {
				if (v1[i] == v2[j])
					dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
				else
					dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
			}
		}

		double res = (double)dp[N][N] / N;
		if (res - 0.5 > 1e-10) {
			printf("%.2f No", res);
		}
		else {
			printf("%.2f Yes", res);
		}
	}
	return 0;
}

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