程序复杂度估计的表示方法

为了预测程序运行的时间如何锁着实例特征的变化而变化，我们进行简单的估计步数，不必对程序进行准确的操作计数和执行步数，在这里一般采用大O记法，但是Ω记法、Θ记法、小o记号也是很常用的，下面对其做一一分析说明

1、大O记法

定义：f(n)=O(g(n))，当且仅当存在常数两个正整数c和n0，使得n>n0的时候f(n)≤c*g(n)。

表示方法：f(n)=O(g(n))

1）例如：f(n)=3n+2=O(n)

当n>2的时候，2n +2<3n，这时n0=3,c=3，则n>n0的时候，f(n)<c(n)，所以f(n)=O(n)。

2）现在再证明f(n)=2n+2=O(n^2)

当n>2的时候，3n+2<2n^2，所以可选n0=2,c=2,则n>n0的时候，f(n)<c(n^2)，所以f(n)=O(n^2)。

小结：可以看出来大O表示方法g（n）通常为f(n)的最高次幂或者更高次幂。

2、Ω记法

Ω记法与大O记法类似，它表示函数在渐近增长率意义上的下限，可以理解为算法运行时间的下限。

定义：f(n)= Ω (g(n))，当且仅当存在常数两个正整数c和n0，使得n>=n0的时候f(n)>=c*g(n)。

1)对于所有的n有f(n)=3n+2>3n,因此f(n)=Ω(n),更直接可以看出f(n)=Ω(1)

2）例如：f(n)=2n^2-4=Ω(n^2)

当n>2的时候，2n^2-4>n^2，所以可选n0=2,c=1,则n>n0的时候，f(n)>c(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。

小结：可以看出来Ω表示方法g（n）通常为f(n)的最高次幂或者更低次幂。

 

3、Θ记法

定义：Θ记号介于大O记号和Ω记号之间。它表示g(n)和f(n)相同的阶数

1）例如：2n<=t(n)<=2n+2,则g(n)=Θ（n）

4、小o记号

定义：f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))。可以看到小o记法给出了严格的上界。

1） 例如：因为3n+2=O(n^2)且3n+2≠Ω(n^2),所以3n+2=o(n^2),但是3n+2≠o(n).

2） 同样10n^2+4n+2=o(n^3),但是10n^2+4n+2≠o(n^2).