数据结构与算法打卡（1）复杂度分析方法（总结）

上篇已经讲过， 复杂度分析非常重要，是数据结构与算法的精髓。
这篇就围绕时间、空间复杂度分析的内容展开。

1. 时间复杂度

Why

评估算法的执行效率方法可以分为两大类：事后统计法、复杂度分析法。

但是总不能在任何情况下都把算法跑一遍吧，所以事后统计法存在很大的局限性：

• 测试结果非常依赖测试环境
  测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。所以比较两种算法的执行效率，很有可能出现换一台机器出现不同的结果的情况。

• 测试结果受数据的影响很大
  这里包含了多个层面，比如数据的排列规则、数据的规模等都会对算法的测试结果造成很大影响，比如排序算法。

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

How

（1）时间复杂度

时间复杂度分析是一种趋势分析，是对算法消耗的时间随数据量级增长趋势的一种分析，或者说粗略估计。

那具体如何进行时间复杂度分析？
先看一段代码：

 int cal(int n) {
   
   
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
   
   
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

一个假设

由于只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time（单位时间）。

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。其实每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样。

结论：第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time

 int cal(int n) {
   
   
   int sum = 0;             // 花费 1 unit_time 执行时间
   int i = 1;               // 花费 1 unit_time 执行时间
   for (; i <= n; ++i) {
   
       // 花费 n unit_time 执行时间
     sum = sum + i;         // 花费 n unit_time 执行时间
   }
   return sum;
 }

一个规律

通过上面的例子，我可以可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。

注意，不要小看上面这句话：”每行代码的执行时间与每行代码的执行次数成正比“，已经将代码的执行时间与代码的执行次数绑定了起来，就像美元与石油的绑定，奠定了美帝全球霸权的基础。

一个表示法

将上面的规律总结成一个公式，就得到了大O表示法：T(n) = O( f(n) )，

其中，O表示代码的执行时间T(n) 与 f(n) 成正比。

上面的例子就可以写成 T(n) = O( 2n+2 )

我们用大O表示法来表示时间复杂度。但是大O复杂度并不具体表示真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

所以，时间复杂度也叫作渐进空间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大的时候，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略，所以在最后只需要记录一个最大量级就可以了，比如 T(n) = O( 2n+2 )就可以记为 T(n) = O(n)， T(n) = O(2n2+2n+3) 就可以记为 T(n) = O(n2)。

（2）时间复杂度分析的技巧

1、只关注循环执行次数最多的一段代码

2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度（我咋觉得应该叫最大法则？？）

抽象成公式：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

大白话理解：多段代码，找复杂度最大的那个
（一般是循环）

示例：

int cal(int n) {
   
   
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
   
   
     sum_1