数据结构与算法分析（01）：四种记法及算法耗时估计一般法则

最新推荐文章于 2022-12-17 15:45:08 发布

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#算法分析

本文深入探讨了算法复杂度的表示法，包括大O、Ω、Θ和小o记法，以及如何通过极限评估函数的增长率。文章还介绍了算法性能分析的方法，如循环、嵌套循环、顺序语句、条件语句、方法调用和递归的运行时间测算法则。

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1. 基本概念

大O记法，用以确定函数的上限；表示两个量之间的不大于关系

$f(N) \leq c f(N) \rightarrow T(N) = O(f(N))$

Ω记法，用以确定函数的下限；表示两个量之间的不小于关系

$f(N) \leq c f(N) \rightarrow T(N) \leq O(f(N))$

Θ记法，确定两个函数相等；表示两个量之间的相等关系

$f(N) = \Theta(H(N)))$

小o记法用以表示两个函数之间只存在小于关系；

注意：在大O表示法中，各种简化发生是常见的现象，低阶项一般被忽略，常数项会被丢弃。

2. 评价方法

我们可以通过极限来评判两个量的相对增长率： $lim_{N->oo}f(x)/g(x)$

当极限为0时，意味着大O记法；当极限不等于0时，意味着Ω记法；当极限为oo时，意味着小o记法

常见的几种函数的增长率对比：

$C<\log N < \log^{2}N < N < N \log N < N^2 < N^3 < 2^N$

对算法最坏性能的分析代表了程序应对任何输入可能的一种保证，而对算法平均性能的分析则代表了算法运行的典型结果，通常很少去分析算法的最好运行性能。

对于一些运行高效的算法，其瓶颈一般出现在数据读入；算法真正用于解决问题运行的时间只是很小一部分，数据一旦读入，算法将很快解决。

3. 算法运行时间测算的一般法则

for循环：循环内语句的运行时间 × 迭代次数

嵌套for循环：内存循环语句运行时间 × 所有外层循环大小

顺序语句：各语句运行时间求和

if/else语句：不超过判断语句 + 耗时较长分支的运行时间

有方法调用：分析方法调用耗时

递归：注意分析其for的简单变体还是其他更复杂的形式

//复杂度为O(N)的斐波那契数列计算
long fab(int n)
{
    if n = 1;
        return 1;
    else
        return n * fab(n - 1);
}

//频繁函数调用的计算方式，该方式存在大量无效的计算，效率极低
long fab(int n)
{
    if n <= 1;
        return 1;
    else
        return fab(n - 1) * fab(n - 2);
}

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