【卡塔兰数】LeetCode 96. Unique Binary Search Trees

最新推荐文章于 2019-09-27 16:44:00 发布

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本文介绍了LeetCode 96题的不同二叉搜索树问题，通过使用动态规划的方法来求解特定数量节点下不同的二叉搜索树的数量。详细解释了递推公式，并给出了C++实现代码。

LeetCode 96. Unique Binary Search Trees

本博客转载自：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4299608.html
Solution1：
这道题实际上是Catalan Number卡塔兰数的一个例子。

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2

   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

就跟斐波那契数列一样，我们把n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，所以1乘1还是1。那么n = 2时，由于1和2都可以为跟，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出：
当数组为1，2，3，…，n时，基于以下原则构建的BST树具有【唯一性：以i为根结点的树，其左子树由[1, i-1]构成，其右子树由[i+1, n]构成】（参考自《leetcode-cpp 答案》）。
dp[2] = dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况)
　　 + dp[1] * dp[0]　　 (2为根的情况)
上面递归式的含义是：
2个元素组成的数的个数 = 左子树0个元素 * 右子树1个元素 (1为根的情况)
+ 左子树1个元素 * 右子树0个元素 (2为根的情况)
同理可写出 n = 3 的计算方法：
dp[3] = dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况)
　　　 + dp[1] * dp[1]　　 (2为根的情况)
　　　+ dp[2] * dp[0]　　 (3为根的情况)
上面递归式的含义是：
3个元素组成的数的个数 = 左子树0个元素 * 右子树2个元素 (1为根的情况)
+ 左子树1个元素 * 右子树1个元素 (2为根的情况)
+ 左子树2个元素 * 右子树0个元素 (3为根的情况)
由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：
这里写图片描述
时间复杂度 $O(n^2)$ ，空间复杂度 $O(n)$

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};