LeetCode 96.Unique Binary Search Trees

LeetCode 96.Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

public int numTrees(int n) {
        int []G=new int[n+1];
        G[0]=1;
        G[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){    //代表G(2)............G(n),因为求G(n)必须知道G(0)....G(n-1)
            for(int j=1;j<=i;j++){   //代表以j为根的BST。
                G[i]+=G[j-1]*G[i-j];
            }
        }
        return G[n];
    }

代码很简单，但思路很难想到，此题的本质上是卡塔兰数；假设G(n)是n个数字能构成的独特的BST的数目，F(i,n)以数字i为根节点的BST的数目，则G(n)=F(1,n)+F(2,n)+F(3,n)+F(4,n)+…….+F(n,n),对于以数字i为根的BST的数目=它的左子树个数*右子树个数，例如F(3,7),在[1,2,3,4,5,6,7]中，F(3,7)是[1,2]和[4,5,6,7]能构成的BST数目的乘积,即F(3,7)=G(2)*G(4),即F(i,n)=G(i-1)*G(n-i);

所以能得到式子：G(n)=G(0)*G(n-1)+G(1)*G(n-2)+…..G(n-1)*G(0);该式子也是卡塔兰数的计算公式因此G(n)的值取决于G(0)……G(n-1)的值，是动态规划题；leetCode讨论部分置顶回答对此思路进行了非常完美的解答。

开始虽然看leetcode英文解释理解了整个思路，但是还是不明白怎么转换为上述代码，太菜啦，模拟了一遍过程才明白。

i=2,j=1,F(1,2)=G(0)*G(1)=1;

​ j=2,F(2,2)=G(1)*G(0)=1;

​ G(2)=F(1,2)+F(2,2)=2;

i=3,j=1,F(1,3)=G(0)*G(2)=2;

​ j=2,F(2,3)=G(1)*G(1)=1;

​ j=3,F(3,3)=G(2)*G(0)=2;

所以概括为G(n)+=G(j-1)*G(i-1);