台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记 (8)Backpropagation

台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记 (8)Backpropagation

当网络结构很复杂时，会有大量的参数。$\nabla L(\theta)$是百万维的向量。如何高效地计算百万维的参数，使用反向传播算法来计算。BP并非是一个和GD不同的训练方法，BP就是GD，只是是一种比较有效率的计算方法。

数学知识铺垫：微积分中的链式法则，很简单。

还是以上节中手写数字识别为例。

$x^n$是一张输入图片，$y^n$是网络的输出$label$向量，$\hat y^n$是该图片的真值$label$向量。$C^n$是输出值和真实值的交叉熵损失。定义$L(\theta)$为损失函数。

$$L(\theta)=\sum_{n=1}^NC^n(\theta)$$
损失函数对参数的导数为：
$$\frac{\partial L(\theta)}{\partial w}=\sum_{n=1}^N\frac{\partial C^n(\theta)}{\partial w}$$
如下图所示：$\frac{\partial C}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial C}{\partial z}$，$Backpropagation$算法分为两个过程。

Forward pass

首先计算前向传播中的$\frac{\partial z}{\partial w}$。以上图为例。

$$\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1$$
$$\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2$$
显然这一步比较简单，某一参数的微分值就是其对应的输入值。注意要把所有$\frac{\partial z}{\partial w}$的值计算出来。

Backward pass

然后计算反向传播中损失函数对于激活函数输入值的偏微分$\frac{\partial C}{\partial z}$。
如下图中所示：$\frac{\partial C}{\partial z}=\frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial C}{\partial a}$，$\frac{\partial a}{\partial z}=\sigma'(z)$。

利用链式法则计算$\frac{\partial C}{\partial a}$.

稍微整理一下，成为下图这样。

下图中很形象地展示了反向传播的概念，$\sigma'(z)$类似模拟电路中的放大器。

最后一步是计算$\frac{\partial C}{\partial z'}$和$\frac{\partial C}{\partial z''}$。这分两种情况：1)$z'$和$z''$的下一层是输出层；2)$z'$和$z''$的下一层不是输出层。
$Case1:$输出层

$Case2:$非输出层
不断地递归计算$\frac{\partial C}{\partial z}$，直至输出层，如下图。

注意：在backward pass过程中也需要对所有的$z$，计算出$\frac{\partial C}{\partial z}$.

Summary

一图胜千言。