台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记 (6)Logistic Regression

台大李宏毅Machine Learning 2017Fall学习笔记 (6)Logistic Regression

做Logistic Regression回归，需要3步。
Step 1: Function Set
在此问题中选择$sigmod(z)$函数，具体见下图。


这里对Logistic Regression和Linear Regression的输出值做个对比，主要是输出值的范围不同。

Step 2: Goodness of a Function
如果训练数据集的格式如下所示：

假设训练集数据是由$f_{w,b}(x)=P_{w,b}(C_1|x)$函数产生。给定$w$和$b$，由该函数产生这组数的概率为

$$L(w,b)=f_{w,b}(x^1)f_{w,b}(x^2)(1-f_{w,b}(x^3))\cdot\cdot\cdot f_{w,b}(x^N)$$
现在的目标是求出使$L(w,b)$最大的$w^*$和$b^*$。
$$w^*,b^*=arg\ \max_{w,b}L(w,b)$$
为了便于处理，对 上式进行等价处理：


注意：上图中采用交叉熵函数作为损失函数。$Cross\ entropy$表示两个$distribution$有多么接近，若两个$distribution$一模一样，则$cross\ entropy=0$。
关于前两步对Logistic Regression和Linear Regression做对比。

至于为何不用$square\ error$做线性回归，暂且不表。
Step 3: Find the best function
这一步的工作就是要利用梯度下降法，不断迭代，找到符合要求的解。PPT中步骤详细，直接贴上来。



顺便观察下迭代的公式，可以发现逻辑回归和线性回归的迭代公式是相同的。

好，模型的求解讲解完毕。再说一说为何不用$square\ error$。
如果采用了$logistic\ regression\ +\ square\ error$的方式，那么在第三步中会出现微分值为0的情况，导致参数无法迭代更新。比如下面两个例子。


$Cross\ entropy$: 距离目标点越远时，目标值越大，参数更新的越快。
$Square\ error$: 当距离目标远时，目标函数对参数的微分值极小，参数更新速度很慢，不容易得到结果。
下图形象地展示了这一点。

判别式模型与生成式模型(Discriminative v.s. Generative)
这一小节讲述的$logistic\ regression$属于判别式模型(Discriminative)；上一节中利用高斯分布描述数据的联合概率的方法求解model属于生成式模型(Generative)。

两种求解模型的方法各有优劣，在此小节的问题中判别式模型的准确率更高。
那生成式模型的优势见下图。

之前讨论的都是二分类问题，如果遇到多分类问题，以三分类为例，则需要把$sigmod(x)$函数改为$softmax(x)$,其公式如下： $$softmax(z_j)=\frac{e^{z_j}}{\sum_{i}e^{z_i}}$$
举例如下：


$Logistic\ Regression$的限制
有时会出现无法分类的情况，如下图。


此时需要进行特征变换，但是要找到一个很好的特征变换往往并不容易。

这时候咱们把几个逻辑回归组合起来，其效果相当于特征变换的作用。再加一个逻辑回归当作分类器。整体结构图如下所示。

首先进行特征变换，结果如下。

基于特征变换的结果进行分类，如下图。

注：上图右下中的$x_{1}^,$和$x_{2}^,$画反了。。。
把多个$logistic\ regression$串在一起，再换个名字叫$Deep\ Learning$，瞬间就潮了许多。就可以去骗麻瓜说我们是在利用深度学习的方法做人工智能，模拟人类大脑的运作~~~