[BZOJ4001] 概率论（生成函数）

最新推荐文章于 2021-05-11 20:30:33 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-11 20:30:33 发布 · 644 阅读

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本文探讨了含n个节点的二叉树中叶子节点的期望个数问题，通过生成函数的方法推导出解决方案，并给出了具体公式。

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Problem

求一个含有 $n$ 个节点的二叉树的叶子节点的期望个数。

Data constraint

$n≤109n\le 10^9$

Solution

考虑 $h (n)$ 表示有 $n$ 个节点的二叉树个数， $f (n)$ 表示 $n$ 个节点的二叉树叶子节点个数和，那么所求即为 $h(x)f(x)\frac{h(x)}{f(x)}$

然后考虑这两个的生成函数，分别设为 $H (x), F (x)$ .

枚举左子树大小 $i$ ，然后 $f$ 是根据左右子树叶子节点对称，所以有 $Hn=∑i=0n−1Hi⋅Hn−i−1H_n = \sum_{i=0}^{n-1}H_i \cdot H_{n-i-1}$ $fn=2∑i=0n−1fi⋅Hn−i−1f_n = 2\sum_{i=0}^{n-1} f_i \cdot H_{n-i-1}$

那么可以得出 $H(x)=xH^2(x)+1$ $F (x) = 2 x H (x) + x$

解方程得到：
$\frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}$

然后对解求极限，发现因为 $H (0) = 1$ ，且

$lim⁡x→0+1+1−4x2x=+∞\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1 + \sqrt{1 - 4x}}{2x} = +\infty$ $lim⁡x→0+1−1−4x2x=1\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} = 1$

所以解是 $H(x)=1−1−4x2xH(x)=\frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$ ，然后可以得出 $F(x)=x1−4xF(x)=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}$ .

然后根据广义二项式定理展开 $1−4x\sqrt{1-4x}$ ，可以得到 $1−4x=(1−4x)12=∑i=0∞(12i)(−4x)i\sqrt{1-4x} = \left (1-4x \right )^{\frac{1}{2}} = \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{2} \choose i}(-4x)^i$

考虑第 $n$ 项系数，那么有： $(−4)n(12n)=(−4)n12⋅(12−1)⋅(12−2)⋯(12−n+1)1⋅2⋅3⋯n(-4)^n { \frac{1}{2} \choose n } = (-4)^n \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( \frac{1}{2} -2 \right)\cdots \left( \frac{1}{2} - n + 1 \right)}{1\cdot2\cdot3\cdots n}$
化简得到 $−12n−1(2nn)-\frac{1}{2n-1}{{2n} \choose n}$

于是带入 $H (x)$ 可以得到， $\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} =\frac{1+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2i-1}{{2i} \choose i} x^i}{2x} =\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2i-1}{{2i} \choose i} x^{i-1}}{2}$
化简可以得到 $H(x)=∑i=0∞1n+1(2ii)xiH(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{{2i} \choose i} x^i$