矩阵与行列式

矩阵相关

1. $A_{nm}$表示一个$n\ast m$的矩阵.

2. 特别地，一个$1$行$m$列的矩阵被称为行向量，列向量同理.

3. $A_{nn}$可以被称为$n$阶方阵$A_n$.

4. $A^T$表示矩阵$A$的转置，即$A_{i,j}^T=A_{j,i}$.

5. 对角矩阵：除主对角线外所有元素均为$0$的矩阵.

6. 主对角线以下均为$0$的方阵上三角矩阵，下三角矩阵同理.

7. 单元矩阵用$I$表示，即主对角线元素全为$1$的对角矩阵.

8. 伴随矩阵${A^{\ast }}_{i,j}$为：元素$a_{ji}$的代数余子式.

行列式的定义

一个矩阵$a$的行列式表示为$|A|$或$\det (A)$

定义：$$|A|=\sum _p(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{a}_{i,p_i}$$

此外，我们发现$|A|$的等价定义还有：$$|A|=\sum _p(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{a}_{p_i,i}$$$$|A|=\sum _{p,q}(-1{)}^{\tau (p)+\tau (q)}\prod _{i=1}^n{a}_{p_i,q_i}$$

这是由于，交换一个排列中相邻两个数，逆序对奇偶性一定改变。推广到交换任意两个数，逆序对奇偶性也同样必须改变。这样每交换一对，行和列的奇偶性都会改变，但和是不变的。所以我们有等价定义。

当然，还有一种定义是根据代数余子式去计算：

在$n$阶行列式中，我们定义$a_{i,j}$的余子式是除去第$i$行第$j$列后所得的$n-1$阶行列式，不妨记作$M_{ij}$.
而代数余子式$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

我们有$$|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{k,i}{A}_{k,i}=\sum _{i=1}^n{a}_{i,k}{A}_{i,k}(k=1,2,...,n)$$

称为行列式按行（列）展开。证明相对简单。

行列式的本质

我们先来看看矩阵.

旋转矩阵$$\left[\begin{array}{cc}co{s}_{\theta }& -si{n}_{\theta }\\ si{n}_{\theta }& co{s}_{\theta }\end{array}\right]$$
乘上向量，得到$$\left[\begin{array}{cc}co{s}_{\theta }& -si{n}_{\theta }\\ si{n}_{\theta }& co{s}_{\theta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$$

事实上，在线性代数中，我们把这样一个变换称为改变了基。

推移、平移等都可以看做是改变了基。

而行列式，就可以描述为一个矩阵给基带来变化的伸缩因子。

例如，对于旋转矩阵而言，它的行列式就是
$$\left|\begin{array}{cc}co{s}_{\theta }& -si{n}_{\theta }\\ si{n}_{\theta }& co{s}_{\theta }\end{array}\right|=co{s}_{\theta }^2+si{n}_{\theta }^2=1$$.

所以可见，旋转并不改变基的大小，仅仅改变方向。

行列式的性质

1. 上三角矩阵/下三角矩阵的行列式值是对角线元素的乘积.

2. 交换行列式任意两行，行列式值取反.

3. 对一行乘上一个固定系数$k$，等价于行列式值乘$k$.

4. 行列式可割。

根据以上性质，可以运用高斯消元求解。时间复杂度$O(n^3)$.

矩阵可逆

根据$|A|$的大小，依据行列式的本质可以知道：

1. 当$|A|>1$，实际上是放大图形。
2. 当$|A|=1$，图形不变。
3. 当$0<|A|<1$，实际上是缩小图形。
4. 当$|A|=0$，图形不可逆。
5. 当$|A|<0$，在改变左右手法则后依据$|A|>0$进行判断。

即当$|A|=0$时，没有任何矩阵可以将乘以$|A|=0$的矩阵还原。

并且当$|A|̸=0$时，存在唯一的逆矩阵，$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A\ast$$

证明：

• 约定$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$A_{ij}$表示$a_{ij}$的代数余子式

• 则根据代数余子式及相关行列式的性质，得到$$\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{A}_{j,k}=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ if }i̸=j\\ |A|& \text{ if }i=j\end{array}(i,j=1,2,...,n)$$

• 所以有$$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=|A|I$$

• 当$|A|̸=0$时，两边除以$|A|$得到$$(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })\cdot A=I$$.

• 所以得到$\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$为$A$的逆矩阵.