生成函数

最新推荐文章于 2023-02-01 10:32:04 发布

Algor_pro_king_John

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OGF

一般地，我们定义 $A(x)=∑i≥0aixiA(x)=\sum_{i\ge 0}a_ix^i$ 为序列 $a$ 的生成函数。

例如当序列 $a$ 为 $a_i=1$ 时， $A(x)=1+x+x2+x3+⋯=11−xA(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}$ .

注意，在这种形式幂级数中，不考虑 $x$ 的取值，不考虑序列的收敛或发散，仅仅关心的是序列 $a$ .

加法

$A + B$

$(A+B)(x)=∑i≥0(Ai+Bi)xi(A+B)(x)=\sum_{i\ge 0}(A_i+B_i)x^i$

乘法

$A \cdot B$

$(A⋅B)(x)=∑i≥0(∑j=0iAjBi−j)xi(A·B)(x)=\sum_{i\ge 0}(\sum_{j=0}^iA_jB_{i-j})x^i$

举例

$1(1−x)m\frac{1}{(1-x)^m}$ 对应的序列 $1(1−x)m=(11−x)m=∑i≥0(i+m−1m−1)xi\frac{1}{(1-x)^m}=(\frac{1}{1-x})^m=\sum_{i\ge 0}\binom{i+m-1}{m-1}x^i$
序列 ${0,1,4,9,⋯ ,n2,⋯ }\{0,1,4,9,\cdots,n^2,\cdots\}$ 的生成函数：

令 $F(x)=∑i≥0i2xiF(x)=\sum_{i\ge 0}i^2x^i$ ，则 $xF(x)=∑i>0(i−1)2xixF(x)=\sum_{i\gt 0}(i-1)^2x^i$ $F(x)(1−x)=∑i>0(2i−1)xiF(x)(1-x)=\sum_{i\gt 0}(2i-1)x^i$ 由于 $1(1−x)2=1+2x+3x2+⋯\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots$ 所以 $2\sum_{i\ge 0}ix^i-\frac{x}{1-x}$ $=2x(1−x)2−x1−x=\frac{2x}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}$ 得到 $F(x)=x(x+1)(1−x)3F(x)=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$
$A, B, C, D$ 四种物品无限个，要求取 $N$ 个，使得 $A$ 拿出偶数个， $B$ 拿出 $5$ 的倍数个， $C$ 最多拿出 $4$ 个， $D$ 最多拿 $1$ 个，求方案数。

列一列生成函数：
$g(x)=(1+x2+x4+⋯ )(1+x5+x10+⋯ )(1+x+x2+x3+x4)(1+x)=11−x211−x5(1+x+x2+x3+x4)(1+x)=11−x11−x=1(1−x)2\begin{aligned} g(x)&=(1+x^2+x^4+\cdots)(1+x^5+x^{10}+\cdots)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)\\ &= \frac{1}{1-x^2}\frac{1}{1-x^5}(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)\\ &= \frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x}\\ &= \frac{1}{(1-x)^2}\end{aligned}$

因此，对应的序列就是 $A(x)=1+2x+3x2+⋯A(x)=1+2x+3x^2+\cdots$ ， $x^n]A(x)=x+1$
一道组合题：化简 $A=∑j=0n∑k=j+1n(nj)(nk)(k−j)A=\sum_{j=0}^n\sum_{k=j+1}^n\binom{n}{j}\binom{n}{k}(k-j)$

$A=∑r=1nr∑k−j=r(nj)(nk)=∑r=1nr(2nn+r)=n∑r=1n(2nn−r)−∑r=1n(n−r)(2nn−r)=n∑r=0n−1(2nr)−2n∑r=1n−1(2n−1n−r−1)=n∗(22n−(2nn))2−2n∑r=0n−2(2n−1r)=n∗(22n−(2nn))2−2n[22n−1−2(2n−1n−1)]2=n(2nn)2\begin{aligned} A&=\sum_{r=1}^nr\sum_{k-j=r}\binom{n}{j}\binom{n}{k}\\ &=\sum_{r=1}^nr\binom{2n}{n+r}\\ &=n\sum_{r=1}^n\binom{2n}{n-r}-\sum_{r=1}^n(n-r)\binom{2n}{n-r}\\ &=n\sum_{r=0}^{n-1}\binom{2n}{r}-2n\sum_{r=1}^{n-1}\binom{2n-1}{n-r-1}\\&=n*\frac{(2^{2n}-\binom{2n}{n})}{2}-2n\sum_{r=0}^{n-2}\binom{2n-1}{r}\\ &=n*\frac{(2^{2n}-\binom{2n}{n})}{2}-\frac{2n[2^{2n-1}-2\binom{2n-1}{n-1}]}{2}\\ &= \frac{n\binom{2n}{n}}{2} \end{aligned}$

EGF

对于序列 $A_i$ ，定义其指数生成函数为 $A(x)=∑i≥0Aii!xiA(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{A_i}{i!}x^i$

事实上， $E G F$ 的应用更加巧妙，我们实际处理中，一般存的是 $Aii!\frac{A_i}{i!}$ 的值，当要求第 $i$ 项系数时，才把 $i!$ 乘上去得到对应系数。

乘法

令 $C = A \cdot B$ ，则
$C(i)=∑j=0i(ij)AjBi−j=i!(∑j=0i[xj]A(x)[xi−j]B(x))C(i)=\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}A_jB_{i-j}=i!(\sum_{j=0}^i[x^j]A(x)[x^{i-j}]B(x))$
$C(x)=∑i≥0Cii!xi=∑i≥0(∑j=0i[xj]A(x)[xi−j]B(x))xiC(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{C_i}{i!}x_i=\sum_{i\ge 0}(\sum_{j=0}^i[x^j]A(x)[x^{i-j}]B(x))x_i$

可以看出， $C$ 的 $E G F$ 实际上就是 $A, B$ 的 $E G F$ 的卷积.

常用EGF

$E G F$ 中常常用到 $e^x$ 的泰勒展开，即 $ex=∑i≥0xii!e^x=\sum_{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}$ .

类似的，我们还有一些式子： $ex+e−x2=∑imod  2=0xii!\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{i\mod 2 = 0}\frac{x^i}{i!}$ $ex−e−x2=∑imod  2=1xii!\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum_{i\mod 2 = 1}\frac{x^i}{i!}$

举例

六个数字，三个数字 $1$ ，两个数字 $6$ ，一个数字 $8$ ，求能组成多少个不同的四位数.

因为有排列，所以 $O G F$ 显然是不可以了。考虑 $E G F$ ，设 $Ge(x)=(1+x+x22!+x33!)(1+x+x22!)(1+x)G_e(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})(1+x+\frac{x^2}{2!})(1+x)$ 其中， $[x4]Ge(x)=38⋅x44![x^4]G_e(x)=38·\frac{x^4}{4!}$ ，所以方案数是38种。

而此问题实际上考虑的是具有重复元素的排列问题，即是在运用公式 $total=n!a1!a2!⋯am!total=\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_m!}$