6062. 【GDOI2019模拟2019.3.16】计算（数位DP+exp的性质）

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博客围绕k不含m子串∑ek/n（n,m≤109）的问题展开。指出这是经典数位DP问题，用fi,j,0/1,0/1表示构造到第i位等状态。提到C++里exp(k)=ek且精度高，转移利用ex+y=exp(x)∗exp(y)性质，最后提醒注意m=0时前导0情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

$∑k不含m子串ek/n\sum_{k不含m子串}e^{k/n}$

$n,m≤109n,m\le 10^9$

Solution

经典数位DP。

$f_{i,j,0/1,0/1}$ 表示构造到第 $i$ 位，匹配到第 $j$ 位，是否达上届，是否是前导 $0$ .

C++里 $exp(k)=e^k$ ，且精度很高。

转移注意一个显然的性质是 $e^{x+y}=exp(x)*exp(y)$ .

最后注意当 $m = 0$ 时的前导 $0$

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)
typedef double db;

using namespace std;

char s[12], t[12];
int n, m, a[12], b[12], sum, ten[12], nx[12];
db f[12][12][2][2], ans;

int main() {
	freopen("calc.in", "r", stdin);
	freopen("calc.out", "w", stdout);

	scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
	n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1), ten[0] = 1;
	F(i, 1, n) a[i] = s[i] - '0', sum = sum * 10 + a[i], ten[i] = ten[i - 1] * 10;
	F(i, 1, m) b[i] = t[i] - '0';
	
	int j = 0;
	F(i, 2, m) {
		while (j && b[j + 1] != b[i]) j = nx[j];
		if (b[j + 1] == b[i]) j ++;
		nx[i] = j;
	}

	f[1][0][0][1] = 1;
	F(x, 1, a[1]) {
		if (m == 1 && x == b[m]) continue;
		f[1][x == b[1]][x == a[1]][0] += exp((db)x * ten[n - 1] / sum);;
	}
	F(i, 1, n - 1) F(j, 0, m - 1)
		F(p, 0, 1) F(q, 0, 1) if (f[i][j][p][q])
			F(x, 0, ((p == 1) ? (a[i + 1]) : (9))) {
				if (q == 1 && x == 0 && b[1] == 0)
					f[i + 1][0][0][1] += f[i][j][p][q];
				if (j == m - 1 && x == b[m])
					continue;
				if (q == 1) {
					f[i + 1][x == b[1]][0][x == 0] += f[i][j][p][q] * exp((db) x * ten[n - i - 1] / sum);
				}
				else {
					int y = j;
					while (y && b[y + 1] != x) y = nx[y];
					if (b[y + 1] == x) y ++;
					
					f[i + 1][y][(p == 1) & (a[i + 1] == x)][0] += f[i][j][p][q] * exp((db) x * ten[n - i - 1] / sum);
				}
			}
	F(j, 0, m - 1)
		ans = (ans + f[n][j][0][0] + f[n][j][0][1] + f[n][j][1][0] + f[n][j][1][1]);
	printf("%.3lf\n", ans - 1);
}