20241031 校内模拟赛 T1、T2 题解

T1

题目描述

给定一个圆形蛋糕，被 $n$ 条切割线分成 $n$ 个扇形蛋糕块，按照顺时针编号，第 $i$ 块上有 $a_i$ 个草莓，第 $i$ 条切割线到第 $i+1$ 条切割线之间的部分是第 $i$ 块蛋糕。

Alice 和 Bob 流选择切割线，假设 Alice 选择了第 $i$ 条切割线，Bob选择了第 $j$ 条切割线，$j$ 不能等于 $i$。则 Alice 获得从第 $i$ 条切割线顺时针到第 $j$ 条切割线之间的蛋糕，Bob获得剩余蛋糕。Alice 的平均草莓数若大于等于 Bob 的平均草莓数，则 Alice 获胜，否则 Bob 获胜。求使 Alice 必胜的最小切割线编号，不存在则输出 $-1$。

输入格式

第一行一个正整数 $n$
。

第二行 $n$ 个正整数 $a_i$ 表示第 $i$ 块内的草莓数量。

输出格式

一个整数，即为答案。

样例

样例输入1

3
3 8 5

样例输出1

2

Alice 在 $3$ 和 $8$ 之间切一刀，Alice要么会拿到 $8$ 要么会拿到 $8$ 和 $5$，都可以获胜。

数据范围

对于所有数据 $1<n\le 500000,1\le ai\le 500000$。

对于 $50\%$ 的数据 $n\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据无特殊限制。

解法说明

可将每个 $a_i$ 转化为其与所有数字的平均值之间的差，对新的 $a_i$ 做前缀和，则当 Alice 选 $i$，Bob 选 $j$ 时，如 $su{m}_{j-1}-su{m}_{i-1}\ge 0$，则 Alice 胜。故 Alice 应选 $su{m}_{i-1}$ 最小的点后面的切割线，此时无论 Bob 如何选择都必败。

通过代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N=5e5+10;

namespace IO{
	inline int read(){
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while(ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-'?-1:f),ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
		return x*f;
	}

	inline void write(int x){
		if(x<0) putchar('-'),x=-x;
		if(x>9) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
}using namespace IO;

namespace code{
	int n,a[N],sum[N],ans;

	void solve(){
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i]*n-sum[n];
		for(int i=1;i<n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i],ans=(sum[i]<sum[ans]?i:ans);
		write(ans+1);
	}
}

signed main(){
	code::solve();
	return 0;
}

T2

题目描述

游乐园有 $n$ 个项目，第 $i$ 个项目直接排队要 $a_i$ 分钟，使用优速通需要排队 $b_i$ 分钟。你有 $k$ 张优速通票，也就是意味着你可以选不超过 $k$ 个项目使用优速通。你一共有 $t$ 分钟，这里忽略除了排队以外的其他时间。你想知道你最多可以玩多少个不同的项目。

输入格式

第一行三个正整数 $n$，$k$，$t$。

接下来 $n$ 行，每行两个正整数 $a_i$，$b_i$。

输出格式

一个整数，即最多能玩的项目数量。

样例

样例输入1

5 2 20
7 4
10 8
3 3
8 7
9 5

样例输出1

4

数据范围

对于所有数据 $1\le k\le n\le 2\times 10^5,1\le T\le 10^{18},1\le b_i\le a_i\le 10^{12}$
。

对于 $20\%$ 的数据：$n\le 10$。

对于 $50\%$ 的数据：$n\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据：无特殊限制。

解法说明

反悔贪心。

显然，前 $k$ 个肯定是 $b_i$ 能选几个是几个。如果选完后 $t>0$，则应增加一些项目，有以下两种可能：

1. 新加一个 $a_i$
2. 新加一个 $b_i$，并将一个选过的 $b_j$ 换成 $a_j$。

此时我们可以开三个堆，一个存储未选过的 $a_i$，另一个存储未选过的 $b_i$，最后一个存储选过的 $a_j-b_j$。记三个堆堆顶分别为 $u$、$v$、$w$，则如果 $u<v+w$ 选择第一种，否则选择第二种，不停循环直到 $t<0$ 为止。

通过代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define PII pair<int,int>
#define mp make_pair
const int N=2e5+10;

namespace IO{
	inline int read(){
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while(ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-'?-1:f),ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
		return x*f;
	}

	inline void write(int x){
		if(x<0) putchar('-'),x=-x;
		if(x>9) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
}using namespace IO;

namespace code{
	int n,k,t,ans;
	bool vis[N];
	
	struct node{
		int a,b;
	}a[N];
	
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q1,q2,q3;
	
	bool cmp(node x,node y){
		return x.b<y.b;
	}

	void solve(){
		n=read(),k=read(),t=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i].a=read(),a[i].b=read();
		sort(a+1,a+n+1,cmp);
		for(int i=1;i<=k&&t>=0;i++,ans++) t-=a[i].b,vis[i]=1;
		if(t<0) return write(ans-1),void();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!vis[i]) q1.push(mp(a[i].a,i)),q2.push(mp(a[i].b,i));
			else q3.push(mp(a[i].a-a[i].b,i));
		}
		while(t>0){
			int x=q1.top().second,y=q2.top().second,u,v,w;
			while(vis[x]) q1.pop(),x=q1.top().second;
			while(vis[y]) q2.pop(),y=q2.top().second;
			ans++,u=q1.top().first,v=q2.top().first,w=q3.top().first;
			if(u<v+w) q1.pop(),vis[x]=1,t-=u;
			else q2.pop(),q3.pop(),vis[y]=1,t-=v+w,q3.push(mp(a[y].a-a[y].b,y));
		}
		write(t<0?--ans:ans);
	}
}

signed main(){
	code::solve();
	return 0;
}