20250926模拟赛 T2 题解

最新推荐文章于 2025-12-21 15:46:06 发布

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#动态规划 #算法 #数据结构 #贪心算法 #c++ #深度优先

题目描述

$ZLOIers\text{ZLOIers}$ 喜欢 $LOL\text{Play LOL}$ 。

一次放假， $n$ 个 $ZLOIers\text{ZLOIers}$ 准备 $Play\text{Play}$ 。

每个 $ZLOIer\text{ZLOIer}$ 的空闲时间可以用一段区间表示 $a_i,b_i)$ 。

现在 $n$ 个人准备分成 $k$ 组 $Play\text{Play}$ 。

每个人恰好加入一组，每组至少一个人。

每组能够 $Play\text{Play}$ 的时间取决于每个人时间的交。

并且要求每组的人都能够一起的时间大于 $0$ 。

求最大化所有组 Play 的总时间。

输入格式

第一行包括两个整数 $n$ 和 $k$ 。

接下来 $n$ 行每行包括两个整数 $a_i$ 和 $b_i$ 。

输出格式

输出最大总时间，每组只算进答案一次。

如果无解，输出 $0$ 。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

$20%20\%$ 数据, $\leq 15, k \leq 15$ ；

$40%40\%$ 的数据, $n≤100,k≤100n\leq 100,k\leq 100$ ；

$60%60\%$ 的数据, $n≤1000,k≤1000n\leq 1000,k\leq 1000$ ；

$80%80\%$ 的数据, $n≤3000,k≤3000n\leq 3000,k\leq 3000$ ；

$100%100\%$ 的数据, $n≤8000,k≤8000,1<a<b<105n\leq 8000,k\leq 8000,1\lt a\lt b\lt 10^5$ 。

解题思路

考虑使用树形 dp 统计答案。

注意到，对于每条路径 $(x, y)$ ，其关键节点为 $l c a (x, y)$ 。所以我们在此处更新答案。

记 $f_x$ 表示 $x$ 为根的子树的答案， $g_x$ 表示以 $x$ 的所有儿子为根的子树的答案的和， $p$ 为与该路径有交点的已经选取的路径的总数， $a_i$ 和 $b_i$ 为路径 $i$ 的两端点， $E$ 为两端点最近公共祖先为 $x$ 的路径的集合，显然有转移方程 $f_x=\max(g_x,\max_{i}^{i∈E} g_x-p+1)$ 。

容易发现，对 $p$ 的统计是时间上的瓶颈所在。此处可以记录以每个点是否被作为已选取的路径的最近公共祖先，如是则其点权为 $1$ ，则对 $p$ 的计算转化为对 $a_i$ 到 $b_i$ 的路径上的点权求和，然后就可以用树链剖分和线段树维护了。注意更新 $f_x$ 时注意记录 $f_x$ 是否、被哪条路径更新，更新完后先对路径上所有节点权值赋值为 $0$ ，然后再对 $x$ 的点权 $+ 1$ 。时间复杂度 $O(n \log^2 n)$ 。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define ls(p) p<<1
#define rs(p) p<<1|1
const int N=2e5+10;

namespace IO{
	inline int read(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; }
	inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); }
}using namespace IO;

namespace code{
	int n,m,head[N],tot=1,fa[N],son[N],top[N],deep[N],size[N],dfn[N],cnt,f[N],g[N];
	
	struct node{ int x,y; };
	stack<node> st[N];
	
	struct edge{ int ver,next; }t[N<<1];
	void add(int x,int y){ t[++tot].ver=y,t[tot].next=head[x],head[x]=tot; }
	
	void dfs1(int x){
		size[x]=1;
		int maxson=-1;
		for(int i=head[x];i;i=t[i].next){
			int y=t[i].ver;
			if(y==fa[x]) continue;
			fa[y]=x,deep[y]=deep[x]+1,dfs1(y),size[x]+=size[y];
			if(size[y]>maxson) son[x]=y,maxson=size[y];
		}
	}
	
	void dfs2(int x,int fr){
		top[x]=fr,dfn[x]=++cnt;
		if(son[x]) dfs2(son[x],fr);
		for(int i=head[x];i;i=t[i].next){
			int y=t[i].ver;
			if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
			dfs2(y,y);
		}
	}
	
	struct Segment_Tree{
		struct t_node{
			int sum,lz_tag;
		}t[N<<2];
		
		void push_up(int p){
			t[p].sum=t[ls(p)].sum+t[rs(p)].sum;
		}
		
		void push_down(int p,int l,int r){
			if(t[p].lz_tag==-1) return;
			int mid=(l+r)>>1;
			t[ls(p)].lz_tag=t[rs(p)].lz_tag=t[p].lz_tag,t[ls(p)].sum=t[p].lz_tag*(l-mid+1),t[rs(p)].sum=t[p].lz_tag*(r-mid);
			t[p].lz_tag=-1;
		}
		
		void build(int p,int l,int r){
			t[p].lz_tag=-1;
			if(l==r) return;
			int mid=(l+r)>>1;
			build(ls(p),l,mid),build(rs(p),mid+1,r);
		}
		
		void update(int p,int l,int r,int ul,int ur,int k){
			if(ul<=l&&r<=ur) return t[p].lz_tag=k,t[p].sum=k*(r-l+1),void();
			push_down(p,l,r);
			int mid=(l+r)>>1;
			if(ul<=mid) update(ls(p),l,mid,ul,ur,k);
			if(ur>mid) update(rs(p),mid+1,r,ul,ur,k);
			push_up(p);
		}
		
		void add(int p,int l,int r,int pos,int k){
			if(l==r) return t[p].sum+=k,void();
			push_down(p,l,r);
			int mid=(l+r)>>1;
			if(pos<=mid) add(ls(p),l,mid,pos,k);
			else add(rs(p),mid+1,r,pos,k);
			push_up(p);
		}
		
		int query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
			if(ql<=l&&r<=qr) return t[p].sum;
			push_down(p,l,r);
			int mid=(l+r)>>1,ret=0;
			if(ql<=mid) ret=query(ls(p),l,mid,ql,qr);
			if(qr>mid) ret+=query(rs(p),mid+1,r,ql,qr);
			return ret;
		}
	}tr;
	
	int lca(int x,int y){
		int bx=0,by=0;
		while(top[x]!=top[y]){
			if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y),swap(bx,by);
			bx=top[x],x=fa[top[x]];
		}
		if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
		return x;
	}
	
	void qupd(int x,int y){
		while(top[x]!=top[y]){
			if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
			tr.update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],0),x=fa[top[x]];
		}
		if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
		tr.update(1,1,n,dfn[x],dfn[y],0);
	}
	
	int qsum(int x,int y){
		int ret=0;
		while(top[x]!=top[y]){
			if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
			ret+=tr.query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]),x=fa[top[x]];
		}
		if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
		return ret+tr.query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);
	}
	
	void dp(int x){
		for(int i=head[x];i;i=t[i].next){
			int y=t[i].ver;
			if(y==fa[x]) continue;
			dp(y),g[x]+=f[y];
		}
		f[x]=g[x];
		int nx=0,ny=0;
		while(!st[x].empty()){
			int y=st[x].top().x,z=st[x].top().y,k=qsum(y,z);
			st[x].pop();
			if(f[x]<g[x]-k+1) nx=y,ny=z,f[x]=g[x]-k+1;
		}
		if(nx) qupd(nx,ny),tr.add(1,1,n,dfn[x],1);
	}

	void solve(){
		n=read(),m=read();
		for(int i=1,x,y;i<n;++i) x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
		dfs1(1),dfs2(1,1),tr.build(1,1,n);
		for(int i=1,x,y,z;i<=m;++i) x=read(),y=read(),z=lca(x,y),st[z].push((node){x,y});
		dp(1),write(f[1]);
	}
}

signed main(){
	freopen("paths.in","r",stdin);
	freopen("paths.out","w",stdout);
	code::solve();
	return 0;
}