JZOJ4884. 图的半径

题目大意

给定一个$n$个点$m$条边的无向图。
求现在要选择一个中心位置（可以是一个点，也可以是边上的某一点），使得最远的点到这个中心的距离最小。
求最小值。

Data Constraint
$n\leq200,m\leq19900$

题解

考虑枚举中心在哪一条边上。
记当前枚举的边是$(u,v,w)$，$d1[i]$表示$i\rightarrow u$的最短路，$d2[i]$表示$i\rightarrow v$的最短路，$x$表示当前的中心与$u$的距离。那么答案就是：

$$max_{i=1}^{n}\{\min\{d1[i]+x,d2[i]+w-x\}\}$$
我们将$d1[i]+x<d2[i]+w-x$的点放入集合$A$，其余点在集合$B$中。当$x$逐渐变大的时候，会不断地有点从$A$到$B$中。显然可以就算出一个点从$A$到$B$的时间$t$。然后我们是可以取到这个最大值的，就是$d1[i]+x=d2[i]+w-x$的时候。

时间复杂度：$O(mnlogn)$

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;

#define N 200 + 10
#define M 20000 + 10
struct Edge {
    int u , v , w ;
    Edge ( int U = 0 , int V = 0 , int W = 0 ) { u = U , v = V , w = W ; }
} E[M] ;
struct Note {
    int v , h ;
} A[N] ;

int f[N][N] , LMAX[N] , RMAX[N] ;
int n , m ;
double ans = 1e15 ;

bool cmp( Note a , Note b ) { return a.v < b.v ; }

int main() {
    freopen( "radius.in" , "r" , stdin ) ;
    freopen( "radius.out" , "w" , stdout ) ;
    scanf( "%d%d" , &n , &m ) ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) f[i][j] = 1e9 ;
        f[i][i] = 0 ;
    }
    for (int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        int u , v , w ;
        scanf( "%d%d%d" , &u , &v , &w ) ;
        E[i] = Edge( u , v , w ) ;
        if ( u != v ) f[v][u] = f[u][v] = min( f[u][v] , w ) ;
    }
    for (int k = 1 ; k <= n ; k ++ ) {
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
            for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) {
                f[i][j] = min( f[i][j] , f[i][k] + f[k][j] ) ;
            }
        }
    }
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
        int Maxv = 0 ;
        for (int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) Maxv = max( Maxv , f[i][j] ) ;
        ans = min( ans , (double)Maxv ) ;
    }
    for (int k = 1 ; k <= m ; k ++ ) {
        if ( E[k].u == E[k].v ) continue ;
        int u = E[k].u , v = E[k].v , w = E[k].w ;
        A[1].v = A[1].h = 0 ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) A[i+1].v = f[v][i] - f[u][i] + w , A[i+1].h = i ;
        sort( A + 1 , A + n + 2 , cmp ) ;
        LMAX[0] = RMAX[n+2] = -0x7FFFFFFF ;
        for (int i = 1 ; i <= n + 1 ; i ++ ) LMAX[i] = max( LMAX[i-1] , f[v][A[i].h] + w ) ;
        for (int i = n + 1 ; i >= 1 ; i -- ) RMAX[i] = max( RMAX[i+1] , f[u][A[i].h] ) ;
        for (int i = 1 ; i <= n + 1 ; i ++ ) {
            int j = i ;
            while ( j <= n + 1 && A[i].v == A[j].v ) j ++ ;
            j -- ;
            double last = (double)A[i].v / 2.0 , now = (double)A[j+1].v / 2.0 ;
            double MaxB = LMAX[j] , MaxA = RMAX[j+1] ;
            double x = (MaxB - MaxA) / 2.0 ;
            x = max( x , last ) ;
            x = min( x , now ) ;
            ans = min( ans , max( MaxA + x , MaxB - x ) ) ;
        }
    }
    printf( "%.2lf\n" , ans ) ;
    return 0 ;
}

以上.