JZOJ2722. 二进制矩阵_二进制矩阵-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Akak__ii/article/details/53738076

该博客讨论了JZOJ2722问题，涉及一个n×m的01矩阵，目标是通过相邻位置交换使每行每列1的数目相等。博主提供了数据约束、题解思路和时间复杂度分析，指出问题转化为经典序列调整问题，可通过找到合适中点实现最小交换次数，时间复杂度为O(nlogn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定一个 $n\times m$ 的01矩阵，每次能选择两个相邻的位置交换。第一行与最后一行，第一列与最后一列视为相邻。
先要将这个矩阵变成每行每列的1个数分别相等（同时满足或者不同时满足）。
求最小交换次数。

Data Constraint
$n,m\leq 1000$

题解

先统计矩阵中1的个数，根据是否是 $n,m$ 的倍数来判断最终的局面是哪种情况。
然后考虑如何分配。首先，行和列是独立的，因为每次交换只会改变行或列中的一个的1的个数（即行和列的1的个数再一次交换中不会同时变化）。
所以现在的问题转化成，给定一个序列，每次可以将一个物品从一个位置转移到相邻的位置。使得最终每个位置物品数相等。求最小转移次数。
这是一个很经典的问题，记每个人的物品数-平均值的数为 $a_i$ ，我们要将 $a$ 调整到全为0。我们假设第一个人给了第二个人 $x$ 个物品，那么第二个人给了第三个人 $x+a_2$ ，第三个人给第四个人 $x+a_2+a_3$ 以此类推，所以要找一个 $x$ 使得 $\sum_{i=1}^nx+S_i$ ， $S_i$ 是 $a$ 的前缀和。取中点即可。

时间复杂度： $O(nlogn)$

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;

#define N 1000 + 10

int Row[N] , Col[N] , a[N] , S[N] ;
int Mat[N][N] ;
int T , n , m ;
int Cnt , ans ;

void Solve( int *b , int st , int k ) {
    for (int i = 1 ; i <= k ; i ++ ) {
        a[i] = b[i] - st ;
        S[i] = S[i-1] + a[i] ;
    }
    sort( S + 1 , S + k + 1 ) ;
    int mid = S[(1+k)/2] ;
    for (int i = 1 ; i <= k ; i ++ ) ans += abs( S[i] - mid ) ;
}

int main() {
    scanf( "%d" , &T ) ;
    for (int Case = 1 ; Case <= T ; Case ++ ) {
        printf( "Case %d: " , Case ) ;
        scanf( "%d%d" , &n , &m ) ;
        memset( Row , 0 , sizeof(Row) ) ;
        memset( Col , 0 , sizeof(Col) ) ;
        Cnt = ans = 0 ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
            scanf( "\n" ) ;
            for (int j = 1 ; j <= m ; j ++ ) {
                char ch ;
                scanf( "%c" , &ch ) ;
                if ( ch == '1' ) Mat[i][j] = 1 , Row[i] ++ , Col[j] ++ , Cnt ++ ;
                else Mat[i][j] = 0 ;
            }
        }
        if ( Cnt % n == 0 && Cnt % m == 0 ) printf( "both " ) ;
        else if ( Cnt % n == 0 ) printf( "row " ) ;
        else if ( Cnt % m == 0 ) printf( "column " ) ;
        else { printf( "impossible\n" ) ; continue ; }
        if ( Cnt % n == 0 ) Solve( Row , Cnt / n , n ) ;
        if ( Cnt % m == 0 ) Solve( Col , Cnt / m , m ) ;
        printf( "%d\n" , ans ) ;
    }
    return 0 ;
}

以上.