数值分析计算方法——方程求根

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#二分法 #算法 #机器学习

本文深入解析方程求根的二分搜索与迭代法，介绍基本步骤、设计思想及加速技巧，适用于初学者及需要复习相关概念的读者。

方程求根

二分搜索

步骤：

  1. 从所给区间[a,b]着手二分，令a1<=a,b1<=b
  2. 取有根区间[a1,b1]的中点x作为近似根
  3. 通过根的搜索确定二分后新的有根区间[a1,b1]
  4. 检查近似根x是否满足精度要求：若不满足则转步2继续二分；若满足则输出结果x及相应的函数值f(x)

二分法比较常见，可看博客：
https://blog.youkuaiyun.com/Ace_bb/article/details/104419650

迭代法

设计思想

迭代法是一类重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定的公式反复矫正根的近似值，使之逐步精确化，最后满足精度要求的结果。
一半分为两步： 先用适当方法例如二分法获得一个近似根x0，然后再反复迭代，将x0逐步加工成一系列近似根x1，x2，x3…知道满足精度为止。以如下例题为例：
在这里插入图片描述
对于一般的f(x)=0可改写成如下一般形式：
在这里插入图片描述
则迭代过程及收敛性如下：
在这里插入图片描述

压缩映像原理

在这里插入图片描述

迭代过程加速

加速公式１

在这里插入图片描述

Aitken加速方法

在这里插入图片描述

开方法

开方公式

在这里插入图片描述

开方函数

在这里插入图片描述

牛顿法

在这里插入图片描述

数值分析笔记（一）：方程求根
fishfuck的博客
10-01 991
文章目录根的搜索迭代法收敛性的判断收敛速度加速迭代Newton法（切线法）Newton法的改进Newton下山法 根的搜索 逐步搜索 在给定区间[a,b][a, b][a,b]上从左端点x=ax=ax=a开始，按照步长hhh一步一步取f(x0)f(x_0)f(x0​)和f(x0+h)f(x_0+h)f(x0​+h)，如果发现成立f(x0)⋅f(x0+h)≤0f(x_0)\cdot f(x_0+h)\leq 0f(x0​)⋅f(x0​+h)≤0则在区间[x0,x0+h][x_0,x_0+h][x0​,x
【机器学习】数值分析02——任意方程求根
WarrenRyan
02-16 962
任意方程求根 全文目录 （博客园）机器学习 （Github）MachineLearning Math 1.简介 方程和函数是代数数学中最为重要的内容之一，从初中直到大学，我们都在研究着方程与函数，甚至我们将图形代数化，从而发展出了代数几何、解析几何的内容。而在方程与函数中，我们研究其性质最多的，往往就是方程的根（零点），即使是研究方程的极值点、鞍点等，我们无非也只是研究其微商的零点。 我们在初等数学中已经学过许多简单初等函数、线性方程的求解方法，在本文中，我们重点讨论任意方程，尤其是计算困难的非线性方程的求
方程求根的计算方法
07-19
方程求根的数值计算方法
方程求根的数值方法—数值分析实验
Road
04-28 1939
一、目的与要求 （一）目的通过设计、编制、调试2~3个用数值方法求方程根的程序，加深对方程求根的数值计算方法及有关的基础理论知识的理解。 （二）要求 用编程语言实现二分法、Newton迭代法、弦截法求方程根的程序。 二、示例 1、问题已知f(a)与f(b)异号，用二分法求方程f(x)=0所在的根。 2、程序中变量说明 （略） 3、源程序清单及运行结果（略） 4、按以上4点要求编写上机实...
数值分析实验二 方程求根
Ace2NoU的博客
12-23 1335
一、目的与要求： 1、通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点； 2、比较二者的计算速度和计算精度。 二、实验内容 1、二分法 算法 给定区间[a,b]，并设与符号相反，取为根的容许误差。 令c=(a+b)/2 如果f(c)=0，则输出，结束；否则执行（3）， 如果，则令；否则则令，重复（1），（2），（3）。 2、牛顿迭代法 算法 给定初值，为根的容许误差，为的容许误差，N为迭代次数的容许值。 如果=0或迭代次数大于N，则算法失败，结束；否则执
数值分析（非线性方程求根）
04-14
### 数值分析——非线性方程求根 #### 4.1 基本概念 在数值分析中，非线性方程求根是一项重要的技术。非线性方程通常指的是不能通过线性组合来表示的方程，这类方程在科学与工程领域中非常常见。 **非线性方程的...
数值分析第四章知识点总结——非线性方程求根.pdf
11-28
数值分析是计算机科学和工程领域中的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法解决数学问题，特别是在处理非线性方程求根时。本知识点总结聚焦于数值分析第四章的非线性方程求根，主要涵盖了四种常见的求解方法：...
数值分析——非线性方程与方程组的数值解法之二分法
最新发布
weixin_51762426的博客
08-31 634
本文介绍了非线性方程的数值解法之一——二分法。首先明确了非线性方程的概念，即求实数根f(x)=0的情形。二分法的核心思想是通过不断二等分含根区间，利用端点函数值符号变化缩小根的范围。文中详细描述了二分法的操作步骤和误差估计公式|x*-x|≤(b-a)/2^(k+1)，并通过实例x^3-x-1=0在[1,2]区间的求解过程，展示了如何确定二分次数（k=6）和获得三位有效数字的近似根（1.32）。该方法适用于连续函数且区间端点异号的情形，能保证收敛到单根。
基于matlab的数值分析( 非线性方程求根)上机实验报告1.pdf
10-30
《基于MATLAB的数值分析——非线性方程求根》 在计算机科学与工程领域，数值分析是一种处理数学问题的重要方法，特别是在解决非线性方程求根问题时。MATLAB作为强大的科学计算工具，提供了多种算法来解决这类问题。...
Python数值计算（7）——非线性方程的求根
cdinten的专栏
07-26 918
牛顿法速度快效率高，但是有个很大的问题是必须要事先知道函数的导数，有时候计算导数是一件费时费力的事情，例如上例中是预选定义好了导函数。为了克服这个问题，可以逆向思维，导数的定义之一通过计算微商，然后取极限的方式，可以将。可以看到，只需要4次就可以计算出误差在1e-6的水平。测试显示通过6次迭代也可以实现误差在1e-6的水平。继续求根的数值算法。这次介绍牛顿法和割线法。
非线性方程求根 数值计算方法实验 数值方法实验
05-16
一.试验目的：练习用数值方法求解给定的非线性方程。 二.实验内容：求解人口方程: 要求误差小于 。
李东风《统计软件教程》北京大学数学科学学院
05-19
北大数科院的李东风编著 统计软件的教学 包括SAS巨详细的教程 以及S的教学
计算方法之二分法求方程根
he91-com
06-11 491
/************************ * 用二分法求方程 * f(x)=x^3-2x-5=0 * 在区间[2,3]内的根 *************************/ #include&lt;stdio.h&gt; #include&lt;math.h&gt; #include&lt;conio.h&gt; float f(float x) { float a; a =...
算法基础：二分法求方程的根--二分算法
qq_46470984的博客
02-21 1699
题目： 求下面方程的一个根：f(x) = x3-5x2+10x-80 = 0若求出的根是a，则要求 |f(a)| <= 10-6。 思路： 对f(x)求导，得f’(x)=3x2-10x+10。由一元二次方程求根公式知方程f’(x)= 0 无解，因此f’(x)恒大于0。故f(x)是单调递增的。易知 f(0) < 0且f(100)>0,所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)在[0,100]内是单调的，所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。 #include &lt
数值分析实验1 方程求根
qq_52704581的博客
01-07 837
数值分析实验 matlab
数值分析基础求单根算法
light_color
03-24 741
函数f(x)=x^3-x-1在[1,2]上有单根，要求精度在10^-5。 二分法： public class Half { public static double fx(double x) { return x*x*x-x-1; } public static void main(String []args) { int coun...
数值分析实验(四)之方程求根的数值方法
有机盐的博客
06-02 2130
实验目的 通过设计、编制、调试2~3个数值积分与微分算法的程序，加深对其数值计算方法及有关的基础理论知识的理解。 问题 用复化梯形公式的自动控制误差算法求积分。 用Romberg积分算法求积分 (这里我选取的需要求解的函数为sin(x)/x) fun1.m 函数定义文件 function f=fun1(x) if x==0||x==1 f=1; else f=sin(x)/x; e...
《数值分析（原书第2版）》—— 1.3　精度的极限
weixin_34375054的博客
07-04 2010
本节书摘来自华章出版社《数值分析（原书第2版）》一 书中的第1章，第1.3节，作者：（美）Timothy Sauer，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。 1.3　精度的极限 数值分析的一个目标是在给定的精度级别中估计结果.使用双精度意味着我们使用52位精度（大约16位十进制数字）来保存和操作数字.得到的答案里总能有16位正确的有效数字...
根的分布区间 | 二分搜索法
用途：中英文学习笔记，如有侵权，可评论留言，及时清理；学历：NUS计算机硕士；SYSU地球物理学士
05-20 2516
这只讨论单个非线性方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0的求根问题。 方程的根可能是实数根也可能是复（数）根，可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根，有如下定义： 定义1：对于方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0。如果f(x∗)=0f(x^*)=0f(x∗)=0，但它的一阶导数f′(x)≠0f'(x)\neq 0f′(x)​=0，则称x∗x^*x∗为方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0单根。推而广之，如果f(x∗)=f′(x∗)=f′′(x∗)=⋯=f(k)(x∗)=0f(x^*)=f'(x.
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