[JZOJ4391] 装饰

Description

给定$2\times M$的网格，每个网格可以染red, green, blue三种颜色之一，
并有三个限制。

1. 最后要有$R$个红色，$G$个绿色，$B$个蓝色。

2. 相邻网格不能染相同的颜色。

3. 每个$2 \times 2$的网格要包含三种颜色。

求合法的染色方案数，答案对$10^9+7$取模。

Constraint

$M, R, G， B \le 10^6$

Analysis

$2\times M$的网格状态太多，我们把它转换成$1\times M$的状态，
记$A_i$为第$i$列没有染上的颜色，根据第3个限制，可以得到$A_i, A_{i+1}$不能相同，
根据第2个限制，确定了$A$序列，整个染色情况就确定了，
但开头$XY$可以变成$YX$，所以最后答案要乘上$2$。
那么现在我们计算$A$的合法方案数。

枚举开头的颜色及个数，设个数为$X$，会把序列分成$X$或$X-1$段，设分成的段数为$g$。
那么这$g$段中，若一个段有偶数个位置，它会交替的放剩下两种颜色，
而一个段若有奇数个位置，该段开头的颜色将会多放一个。
设$g$段中有$e$段是偶数段，则奇数段有$g-e$段，
剩下两种颜色总数为$Y, Z$，在奇数段中开头的个数分别为$o_Y, o_Z$，我们设出方程组，
解出$o_Y, o_Z$。首先$o_Y + o_Z$是所有的奇数段，然后剩下的$Y-o_Y, Z-o_Z$放在偶数段
（奇数段放了开头也变成偶数段）中，因为放了一个另一个就要交替的放，所以个数要相同。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} o_Y+o_Z &= g-e \\ Y - o_Y &= Z - o_Z \\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

最后答案的形式是

$$\binom{g}{e} \binom{g-e}{o_Y} 2^e \binom{Y-o_Y-e+g-1}{g-1}$$

首先选出偶数段，然后奇数段中选择$Y$开头的，然后每个偶数段中开头有两种情况，
考虑到段里非空，所以$Y$先分配出去了$o_Y+e$个，然后挡板分配到$g$段里，
因为剩下的$Z$要交替放在$Y$旁边（偶数段就后面，奇数段就前面），
所以$Z$不用计算组合数。