D2T3 运输计划

$Task$
一棵n节点树，m个询问求$(a,b)$路径距离。改动一条边距为0，求m个询问中最大距离的最小值。

$Solution$
方法一：
暴力出奇迹。
根据题意“改动一条边”，最朴素的做法是$O(n)$枚举改动哪一条边,该边只对路径中存在该边的询问有影响。询问可以按照是否包含该边分为两类,$ans=max$（包含的最大距离-$v$，不包含的最大距离）。

问题转化成：判定边K是否存在于路径$Q(a,b)$上。

如果把a，b用线相连，就会构成一个环，假设边K在路径A，B上，那么一定在这个环上。即边K的两个端点都在$lca$的子树里，K的两个端点是a，b中某一个的祖先。判定子树借助dfs序。

怎么提高程序的效率，多骗点分呢？因为答案必定是由较大的决定的，询问按照原路径从大到小排序，如果已经有i的答案大于i+1的答案，就不必要在接下去查找了，直接break。

方法二：

树链剖分+线段树

根据表达式: $ans=max$（包含的最大距离-v，不包含的最大距离）。
贪心包含该边的询问都是距离大的。
如果按照原路径距离从大到小排序，必定存在一个分界位置i，[1,i]包含边v，i+1不包含边v。那么询问i+1的原距离就是“不包含的最大距离”，包含的最大距离一定是询问1.

我们可以枚举这个分界点i。如果分界点确定后，边K必定在[1,i]路径的交集上，且是交集中的边权最大值。

如何找到路径的交集呢？
当加入一条路径时，该路径上的每一条边次数+1。如果边K在路径的交集上,那么边K的次数为i。

我们需要一个数据结构帮助我们实现区间更新，区间询问：
① 给一条路径的权值+1
② 询问所有边中次数最大条件下，边权最大值。

在序列上用线段树，在树上用树链剖分。

方法三：
二分+差分

求“最大距离最小”边界情况的问题，可以用二分。
因为边长最大为1000，因此答案只可能在$[mx-1000,mx]$之间。Mx表示原询问路径的最大值。这样做可以提高运行效率，减少二分次数。

怎么去写check函数呢？
判定答案<=res是否可行：所有询问>res的路径都必须更改某一条边，最终答案存在于这些边的交集中，且要求权值最大。

求路径的交集等价于将路径刷漆，求次数最大的边中权值最大的边。
因为询问离线，可以进行树上的差分。
结论：x到父亲的边权值=x子树权值和。

求解x子树的权值和方法有：$dfs序+BIT，树形dp,dfs序+后缀和$。
在这3种方法中，第3种常数最小，也很方便。