NOIP 2015 [D2 T3]运输计划

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本文介绍了一道复杂的图论题——NOIP2015运输计划问题的解题思路与代码实现。该问题涉及如何通过改造一条航道来最小化物流飞船完成多个运输任务所需的最大时间。

【NOIP2015 Day2】运输计划

Time Limit:20000MS Memory Limit:262144K
Total Submit:10 Accepted:7
Case Time Limit:1000MS

Description

        公园2044年，人类进入了宇宙纪元。
        L过有n个星球，还有n-1条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这n-1条航道连通了L过所有星球。
        小P掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从u_i号星球沿最快的宇宙路径飞行到v_i号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道j，任意飞船驶过它所花费的时间为t_j，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。
        为了鼓励科技创新，L国国王同意小P的物流公司参与L国的航道建设，即允许小P把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。
        在虫洞建设完成前小P的物流公司就预接了m个运输计划。在虫洞建设完成后，这m个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这m个运输计划都完成时，小P的物流公司的阶段性工作就完成了。
        如果小P可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小P的物流公司完成阶段性工作所需的最短时间是多少？

Input

        /*输入文件名为transport.in。*/
        第一行包括两个正整数n,m，表示L国中星球的数量及小P公司预接的运输计划的数量，星球从1到n编号。
        接下来n-1行描述航道的建设情况，其中第i行包含三个整数a_i,b_i和t_i，表示第i条双向航道修建在a_i与b_i两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为t_i。
        接下来m行描述运输计划的情况，其中第j行包含两个正整数u_i和v_i，表示第j个运输计划是从u_j号星球飞往v_j号星球。

Output

/*输出文件名为transport.out。*/
共1行，包含1个整数，表示小P的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

Sample Output

样例输出1：
11

Hint

输入输出样例1说明：
        将第1条航道改造成虫洞，则三个计划耗时分别为11、12、11，故需要花费的时间为12；
        将第2条航道改造成虫洞，则三个计划耗时分别为7、15、11，故需要花费的时间为15；
        将第3条航道改造成虫洞，则三个计划耗时分别为4、8、11，故需要花费的时间为11；
        将第4条航道改造成虫洞，则三个计划耗时分别为11、15、5，故需要花费的时间为15；
        将第5条航道改造成虫洞，则三个计划耗时分别为11、10、6，故需要花费的时间为11。
        故将第3条或第5条航道改造成虫洞均可使得阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为11。

数据规模于约定：

比较复杂的一道图论题

首先要用dfs求出每一个点的深度和到达根节点的距离dis[i]

这样的话i到j的距离就是dis[i]+dis[j]-2*dis[lca(i,j)]

接下来考虑二分最终的答案，那么对于每一条i到j的路径长度都应该要小于当前二分的答案，否则就将所有的大于当前二分的答案mid的路径选出来，记为集合s

经过分析我们可以知道，要删的这条边一定在最长的路径上并且这条边一定被所有路径包含(否则的话总会有一条路径大于mid)，因此我们只需要考虑删除被所有路径包含的最大的边，这里的所有路径是指属于集合s的路径

那么我们怎么讨论一条边是否被所有路径覆盖呢?

用cnt[v]表示v到父结点的一条边被覆盖的次数，然后每次讨论的时候dfs一下，将讨论的边的覆盖次数+1

对于每条路径i->j,如果lca(i,j)=u那么cnt[u]=-2,因为dfs的时候是要讨论点，而u点会被讨论两次，但是实际上u点和其父结点之间的边并没有走到

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=300005,inf=1e9;
int n,m,fa[maxn][25],last[maxn<<1],dis[maxn];
int cnt[maxn],depth[maxn],line[maxn];
struct wk{
	int L,R,dist;
	bool operator<(const wk& x)const{
		return dist<x.dist;
	}
}q[maxn];
inline void _read(int &x){
    char t=getchar();bool sign=true;
    while(t<'0'||t>'9')
    {if(t=='-')sign=false;t=getchar();}
    for(x=0;t>='0'&&t<='9';t=getchar())x=x*10+t-'0';
    if(!sign)x=-x;
}
struct wr{    
    int a,b,c,w,NEXT;    
    wr(int a,int b,int c,int NEXT):a(a),b(b),c(c),NEXT(NEXT){}    
};    
vector<wr>s;    
void insert(int a,int b,int c){   
    s.push_back(wr(a,b,c,last[a]));    
    last[a]=s.size()-1;    
    s.push_back(wr(b,a,c,last[b]));    
    last[b]=s.size()-1;    
} 
void dfs(int v,int f){
    int i,j,k;
    depth[v]=depth[f]+1;  
    k=ceil(log(depth[v])/log(2));
    fa[v][0]=f;
    for(i=1;i<=k;i++)  
        fa[v][i]=fa[fa[v][i-1]][i-1]; 
    for(i=last[v];i>=0;i=s[i].NEXT)
    	if(s[i].b!=f){
    		dis[s[i].b]=dis[v]+s[i].c;
    		line[s[i].b]=s[i].c;
            dfs(s[i].b,v);
    	}
}
int lca(int x,int y){  
    int i,k,s;  
    s=ceil(log(n)/log(2));    
    if(depth[x]<depth[y])swap(x,y);  
    k=depth[x]-depth[y];  
    for(i=0;i<=s;i++)  
        if((k>>i)&1)x=fa[x][i]; 
    if(x==y)return x;  
    s=ceil(log(depth[x])/log(2));  
    for(i=s;i>=0;i--)  
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){x=fa[x][i];y=fa[y][i];}  
    return fa[x][0]; 
}
void update(int v,int f){
	for(int i=last[v];i>=0;i=s[i].NEXT)
	    if(s[i].b!=f){
	    	update(s[i].b,v);
	    	cnt[v]+=cnt[s[i].b];
	    }
}
bool ok(int mid){
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	int i,j,cc=0,cur=0,v;
	if(q[m].dist<=mid)return 1;
	for(v=m;v;v--)
	    if(q[v].dist<=mid)break;
	for(v++;v<=m;v++){
		cc++;
		cnt[q[v].L]++,cnt[q[v].R]++;
		cnt[lca(q[v].L,q[v].R)]-=2;
	}
	update(1,0);
	for(i=1;i<=n;i++)
	    if(cnt[i]==cc)cur=max(cur,line[i]);
	if(cur==0||q[m].dist-cur>mid)return 0;
	return 1;
}
int main(){
	memset(last,-1,sizeof(last));
	_read(n);_read(m);
	int i,j,x,y,z,l=0,r=0,mid;
	for(i=1;i<n;i++){
		_read(x);_read(y);_read(z);
		insert(x,y,z);
	}
	dfs(1,0);
	for(i=1;i<=m;i++){
		_read(q[i].L);_read(q[i].R);
		q[i].dist=dis[q[i].L]+dis[q[i].R]-2*dis[lca(q[i].L,q[i].R)];
		r=max(r,q[i].dist);
    }
    sort(q+1,q+1+m);
	while(l<=r){
		mid=(l+r)/2;
		if(ok(mid))r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	cout<<l;
}