测度

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#测度论

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本文探讨了长度公理在处理无限多个点集并集长度的局限性，并引入Lebesgue测度公理来解决这一问题。阐述了Lebesgue测度的概念，包括其公理化定义、外测度的定义及性质，以及可测集的判定和性质。讨论了可测集类的性质，以及可测性和Borel集的关系。

长度公理：

设有实数直线上的一些点集所构成的集类 $\mu$ ，若对每一个 $E \in \mu$ ，都对应一个实数 $m(E)$ ，使得：

(1) $m(E) \geqslant 0$ ；

(2) 如果 $E_{i} \in \mu ,i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n.$ ， $E_{i}\cap E_{j} = \varnothing, \forall i \neq j$ ，那么 $m(E_{1}\cup E_{2}\cup\cdot \cdot \cdot \cup E_{n}) = \sum_{k=1}^{n}m(E_{k})$ ；

(3) $m([0,1])=1.$

但是，该公理思考：[a,b]区间上所有有理数点集A的长度是多少？[a,b]区间上所有无理数点集B的长度又是多少？

因为A是可数个点的并集，而在这个公理下，可以求的是有限多个点集的长度；同样，B是无限多个点的并集，也无法求。

测度是长度概念的推广，为的是解决无限多个点集的并集的长度。于是，将长度公理里的(2)改成“可数可加性”(即当集合是可数个集合之并时，可以像(2)中那样直接加)。于是得到

Lebesgue测度公理：设实数直线上的点集所构成的集类 $\mu$ ，若对每一个 $E \in \mu$ ，都对应一个实数 $m(E)$ ，使得：

(1) $m(E) \geqslant 0$ ；

(2) 如果 $E_{i}\in \mu,i=1,2,\cdot \cdot \cdot$ ， $E_{i}\cap E_{j} = \varnothing, \forall i \neq j$ ，那么 $m(\sum_{k=1}^{\infty}E_{k}) = \sum_{k=1}^{\infty}m(E_{k})$ ；

(3) $m([a,b])=b-a.$

【这里不把“有限可加”改成“无限可加”，而改成“可数可加（或者可列可加）”的原因：

还考虑[a,b]区间上所有有理数点集A的长度是多少？[a,b]区间上所有无理数点集B的长度又是多少？

在Lebesgue测度公理下， $m(A) = 0$ 。而 $m([0,1])=m(A\cup B)=m(A)+m(B)$ ，所以 $m(B)=1$ .

如果“无限可加”，则会有 $m(A) = 0$ ， $m(B) = 0$ .这与 $m([0,1])=1$ 矛盾。】

Lebesgue测度：Lebesgue测度公理中 $m(\cdot )$ 就是测度。具体定义见《集论初步》。

【关于测度存在下的集类 $\mu$ 的代数结构探索，由 $m(\sum_{k=1}^{\infty}E_{k}) = \sum_{k=1}^{\infty}m(E_{k})$ 出发：

(1) $m:E\rightarrow R^{*}\cup \left\{ 0\right\}$ ，即 $\sum_{k=1}^{\infty}E_{k} \in E$ ，因此 $\mu$ 满足“可数和封闭”（蕴含满足“有限和封闭”）。

(2) $\forall A ,B \in \mu(C:=A-B)$ ，此时 $B \cap C=\varnothing$ ，即 $A=B+C$ 为直和分解。这时，我们常常希望的是 $C\in \mu$ 。

综上所述，测度往往定义在一个环上。

】

L外测度：设 $E$ 为 $R^{n}$ 中任一点集，对于每一列覆盖 $E$ 的开区间（ $\bigcup_{i=1}^{\infty}I_{i,j}\supset E$ ），作出它们的体积总和 $\mu_{j} = \sum_{i=1}^{\infty}|I_{i,j}|$ （ $\mu_{j}$ 可以等于 $+\infty$ ，不同的区间列一般有不同的 $\mu$ ，即就是 $\mu_{i}$ 与 $\mu_{j}$ 不等），所有这一切的 $\mu$ 组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由 $E$ 决定）称为 $E$ 的Lebesgue外测度，简称L外测度或者外测度，记作：