费马小定理和欧拉定理

先拓展一下威尔逊定理:如果p是素数,则(p-1)! ≡ -1(mod p)。

 例:p=11,10!=1*(2*6)*(3*4)*(5*9)*(7*8)*10 ≡ 1*10 ≡ -1(mod 11);

费马小定理:(定义)如果p是素数,a是正整数,且gcd(a,p)=1(互质),则a^(p-1) ≡ 1(mod p);

                        定理1:由此可以得出a^p ≡a(mod p);

                        推论(费马小定理求逆元):a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p);所以a^(p-2)就是a关于p的一个逆元。

测试代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e5+7;//给出一个很大的素数
const int maxn = 10010;
ll f[maxn]; 
ll qpow(ll a,ll p,ll m){ //反复平方求(a^p)%m; 
	ll ans = 1;
	while(p){
	if(p&1) ans=ans*a%m;
	a = a*a%m;
	p >>= 1;
	}
	return ans%m;
}
void get_inv(){
	f[1] = 1;
	for(int i=2;i< maxn;i++)
	f[i] = qpow(i,mod-2,mod);
}
int main(){
	get_inv();
	for(int i=1;i<maxn;i++)
	cout<<f[i]<<" ";
	return 0;
} 

欧拉定理:

先介绍欧拉\varphi函数\varphi(n),设n是一个正整数。欧拉\varphi函数\varphi(n)是不超过n且与n互素的正整数的个数。

模n的既约剩余系:是由\varphi(n)个整数构成的集合,集合中每个元素互素,且任何两个模n的不同余。

例如:n=10,\varphi(10)=4,且集合{1,3,7,9}就是模10的既约剩余系。

                               若a是和n互素的的正整数,那么{a*r1,a*r2...}也是模n的既约剩余系。

欧拉定理:又叫费马_欧拉定理,如果n和a是互素的正整数,则a^(\varphi(n) )≡1(mod n);

                    推论:a^(\varphi(n)+1 )≡a(mod n);

 欧拉定理一般来找模n的既约剩余系,可以理解成周期。

 

 

 

 

 

 

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