8.6.2 矩阵的运算

　　把一组数字记录成矩阵形式是没有意义的，学习矩阵的关键在于掌握矩阵之间的运算。

1．矩阵加法运算

矩阵之间也可以相加。把两个矩阵对应位置的单个元素相加，得到的新矩阵就是矩阵加法的结果。由其运算法则可知，只有行数和列数完全相同的矩阵才能进行加法运算。

矩阵之间相加没有顺序，假设A、B都是矩阵，则A+B=B+A。通常认为矩阵没有减法，若要与一个矩阵相减，在概念上是引入一个该矩阵的负矩阵，然后相加。A-B是A+(-B)的简写。图演示了两个三行三列矩阵的加法。

矩阵加法在图像位移运算时经常用到。

2．矩阵乘法运算

矩阵之间也可以进行乘法运算，但其运算过程相对复杂得多。与算术乘法不同，矩阵乘法并不是多个矩阵之和，它有自己的逻辑。其算法的具体描述为：假设m行n列的矩阵A和r行v列的矩阵B相乘得到矩阵C，则首先矩阵A和矩阵B必须满足n=r，也就是说，第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同。在运算时，第一个矩阵A的第i行的所有元素同第二个矩阵B第j列的元素对应相乘，并把相乘的结果相加，最终得到的值就是矩阵C的第i行第j列的值。

这个过程用数学公式描述为：

C(i，j)=A(i1，i2，i3……in)×B(j1，j2，j3……jv)

进而推出：

C(i，j)= i1×j1+i2 ×j2+i3×j3……+in×jv

从矩阵的乘法运算过程可以看出，矩阵A和矩阵B相乘的产生的矩阵C，必然是m行v列的。例如，一个5×3的矩阵同一个3×7的矩阵相乘，结果必然是产生一个5×7的矩阵。而一个5×3的矩阵同一个5×7的矩阵，则无法相乘。图演示了两组矩阵的乘法运算。

在图形变换时，经常用到多次变换，这会造成多个矩阵相乘。如果多个矩阵相乘，则等价于前两个矩阵相乘的结果再乘以第三个矩阵，以此向后类推。例如，假设ABCD都是矩阵，则A×B×C×D=((A×B)×C)×D。矩阵乘法同数字乘法不同，其运算的先后顺序十分敏感，矩阵A乘矩阵B的结果可能完全不同于矩阵B乘矩阵A的结果，有时甚至根本无法相乘。

矩阵相乘要求矩阵之间列与行前后对应相等。为了方便操作，在图形学的实际应用中变换矩阵都是行数和列数相等的方阵。对于行和列不相等的矩阵，甚至要人为补足。