【图神经网络】图神经网络(GNN)学习笔记：图信号处理与图傅里叶变换

最新推荐文章于 2025-09-22 12:53:12 发布

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#深度学习 #图神经网络 #拉普拉斯矩阵 #傅里叶变换 #GNN

本文探讨了图信号处理的基础概念，包括图信号的定义、拉普拉斯矩阵及其正则化形式，以及图傅里叶变换。文章还讨论了图信号的频率定义及其与总变差的关系，为图卷积神经网络的理论基础提供了深入理解。

图神经网络GNN学习笔记：图信号处理与图卷积神经网络

第五章：图信号处理与图卷积神经网络

第五章：图信号处理与图卷积神经网络

图信号处理（Graph Signal Processing, GSP）是离散信号处理（Discrete Signal Processing, DSP）理论在图信号领域的应用，其通过对傅里叶变换、滤波等信号处理基本概念的迁移，来研究对图信号的压缩、变换、重构等信号处理的基础任务。

图信号处理与图卷积模型密切相关：

有助于了解图卷积模型的定义和演变
为图卷积模型的理论研究提供工具

本文，首先给出图信号的基本定义，然后介绍图傅里叶变换，并引出图信号频率的定义；然后介绍图信号上的滤波操作，以及卷积滤波与图卷积模型的关系。同时还介绍了对图信号的频域与空域的理解。

1. 矩阵乘法的三种方式

设两个矩阵 $A\in R^{K}$ ， $B\in R^{M\times P}$ ，对于 $C = A B$ ，有如下3种计算方式：

(1)内积视角：将A视作一个行向量矩阵，将B视作一个列向量矩阵，则
$C_{ij}=A_{i,:}B_{:,j}$
(2)行向量视角：将B视作一个行向量矩阵，将A视作系数矩阵，则
$C_{i,:}=\sum_{m}^MA_{im}B_{m,:}$
(3)列向量视角：将A视作一个列向量矩阵，将B视作系数矩阵，则
$C_{:,j}=\sum_{m}^MB_{mj}A_{:,m}$

举例： $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ，以内积视角计算，可得 $C=\begin{bmatrix} 3 & -3\\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ ；

如果用行视角进行计算，以C的第一行计算过程为例：
$\begin{bmatrix} 3 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix}=1\begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 0 & -1 \end{bmatrix}=[2,0]+[1,-2]+[0,-2]=[3,-3]$
如果用烈士叫进行计算，以C的第一列计算过程为例：
$\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\\0 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\-1 \\0\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} -1 \\2\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}2 \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 \\-2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\-2\end{bmatrix}$
行视角的计算方式对理解空域图卷积的计算逻辑与意义有很大帮助。