5.4.二叉树的性质

一.二叉树的常考性质:

常见考点1:结点个数的性质->度为0的结点(叶子结点)总数=度为2的结点总数+1

在二叉树中只可能有度为0、度为1、度为2的三种结点,

设非空二叉树(度最大为2,最小为0)当中

度为0的结点(叶子结点)总数为a,

度为1的结点总数为b,

度为2的结点总数为c,

设该非空二叉树中共有n个结点,那么n=a+b+c,

由树的结点数=总度数+1(详情见"5.2.树的性质"),n = ( 0 * a + 1 * b + 2 * c ) + 1 = b+2c+1

所以a = c +1,如下图:

常见考点2:树的每层中的结点个数范围

常见考点3:树中结点最多可以有多少个


二.完全二叉树的常考性质:

常见考点1:已知结点个数,求完全二叉树的高度

法一:

上述图片中高度为h的完全二叉树的结点有n个,完全二叉树可由满二叉树推出来,

高度为h的满二叉树的结点有2的h的幂减1个,

高度为h-1的满二叉树的结点有2的(h-1)的幂减1个,

由于该完全二叉树的高度为h,所以它的结点数是一定大于高度为h-1的满二叉树的结点数,不能取等,取等的话完全二叉树的高度就只能是h-1,因为高度为h-1的满二叉树的结点已经满了,要想等于该h-1的满二叉树的结点数,该完全二叉树的高度只能为h-1,由于完全二叉树可由满二叉树推出来,所以高度为h的完全二叉树的结点数是小于或等于高度为h的满二叉树的结点数,可以取等,因为满二叉树是特殊的完全二叉树且高度都为h。

(上述图片里是向上取整得出h的结果)

法二:

思路:首先要保证完全二叉树的高度为h,那么第h-1层就一定排满了(因为完全二叉树最多只能有一个度为1的结点,达到完全二叉树的结点最少时且高度为h,那么就只能在第h层放一个结点,此时第h-1层就必须排满,如果把这一个结点放到第h层以外,编号就会与满二叉树不符),再多一个就能排到第h层了,其次,当h层全部排满时,就不能再添加结点了,否则就排到第h+1层了

(上述图片里是向下取整得出h的结果)

常见考点2:对于完全二叉树,可以由总结点数n推出度分别为0,1,2的结点个数为a,b,c

推导过程:在完全二叉树中,n=a+b+c,

由树的结点数=总度数+1,n = ( 0 * a + 1 * b + 2 * c ) + 1 = b+2c+1

所以a = c +1 -> a+c = 2c+1 ,所以度为0的结点(叶子结点)总数和度为2的结点总数的和为奇数

完全二叉树最多只能有一个度为1的结点,所以b只能为1(奇数)或者0(偶数)

因此,如果设n=2k为偶数,那么b只能为1,a为k,那么c为k-1

如果设n=2k-1为奇数,那么b只能为0,a为k,那么c为k-1


三.总结:


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