5.2.树的性质

一.树的常考性质：

性质1：树的结点数 = 总度数 + 1

1.证明：首先要知道结点的度数就是指结点有几个孩子(分支)，比如下述图片的结点A有3个孩子，那么结点A的度为3，

要证明"树的结点数 = 总度数 + 1"，可以逆向推导，从树的最底层开始，每一个结点头上都有一个度，唯独根结点头上没度，所以刨去根结点，就有"树的结点数 = 总度数"，

但对于完整的树，是有根结点的，但根结点头上没度，所以树的总结点数比总度数大1，因此"树的结点数 = 总度数 + 1"。

2.验证：一个分支中，如父结点B，两个子结点为E和F，结点B的度的值为2，等于子结点数量，加上这一个父结点(父结点只能有一个)，就是结点B，E，F组成的树的总结点数即结点数 = 总度数 + 1。

性质2：度为m的树和m叉树

性质3：(可借助等比数列理解)

性质4：(借助等比数列求和公式理解)

性质5：结点最小数量

高度为h的m叉树至少有h个结点(每层至少一个结点，共h层，所以至少共h个结点)；

高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点(首先度为m，表明至少要有m个分支，最少时一个分支上只有一个结

点，此时有m个结点，这些分支占一层，此外有h-1层，每层最少1个结点，因此这h-1层至少h-1个结点，所以整

个树至少h-1+m个结点)

性质6：树的最小高度

为了达到最小高度，每个结点要有尽可能多的孩子，m叉树中一个结点最多有3个子结点，也就是让树变宽，而不

是变高；

上述不等式中n是结点总个数，h是层数；最后是一个向上取整的符号，最后得出h的最小值；

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二.总结：

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