HDU 3507 Print Article [DP斜率优化]

最新推荐文章于 2020-03-06 21:41:13 发布

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斜率优化

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本文介绍了一种基于区间最优化的动态规划算法，用于解决特定类型的最短区间问题。通过维护一个下凸包来更新最优解，实现了从O(n^2)到更高效的时间复杂度。文中提供了一个AC代码示例。

题意：给你n个数字，求最小的区间[L,R]，val=(sum[R]-sum[L-1])^2+M。

题解：根据题意，可以定义dp[i]，表示以i为结尾的答案值，n^2的出答案，但是这样时间复杂度是不够的。

我们考虑之前位置的最优情况。假设dp[i]，p>j，若p可以使得dp[i]得到更优解，那么我们可以得到

dp[j]+(sum[i]-sum[j] )^2+M>=dp[p]+(sum[i]-sum[p] )^2+M

然后让我们拆掉常数项M和拆开平方后的sum[i]^2得到

dp[j]-2sum[i] sum[j] +sum[j]^2>= dp[p]-2sum[i] sum[p] +sum[p]^2

然后移项，把与i有关的变量移到一边

((dp[j]+sum[j]^2)-(dp[p]+sum[p]^2))/2(sum[j] - sum[p] )<=sum[i]

由于sum是递增的，所以p也是递增的，因此我们只需要维护这个下凸包与当前最优点即可。

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=500005;

ll q[MAXN];
ll sum[MAXN];
ll a[MAXN];
ll dp[MAXN];
ll n,m;

ll getDP(ll i,ll j)
{
    return dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;
}
ll getUP(ll j,ll k)
{
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}
ll getDOWN(ll j,ll k)
{
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}

int main()
{
    ll head,tail;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
    {
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        {
			scanf("%lld",&a[i]);
        	sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        head=tail=0;
        q[tail++]=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        {
            while(head+1<tail&&getUP(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+1],q[head]))//更新最优位置 
            	head++;
            dp[i]=getDP(i,q[head]);
            while(head+1<tail&&getUP(i,q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],q[tail-2])<=getUP(q[tail-1],q[tail-2])*getDOWN(i,q[tail-1]))
            	tail--;
            q[tail++]=i;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}