算法分析——0-1背包问题

目录

问题描述

一、动态规划

二、动规法求解0-1背包

1.解题思路

2.具体代码

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问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品有且只有一件。第 i 件物品的体积是v[i] ，价值是w[i] 。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

0-1背包是一道很经典的算法，其解题思路也非常广泛，我们熟知的动态规划法、回溯法、分支法都可以解决；并且，由该问题也可以延伸出一系列更复杂的装在问题。

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一、动态规划

动态规划有以下三个基本特征：
1.最优化原理（最优子结构性质）：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
2.无后效性：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
3.子问题的重叠性：如果有大量的重叠子问题，我们可以用空间将这些子问题的解存储下来，避免重复求解相同的子问题，从而提升效率。本质上，动态规划是一种以空间换时间的技术。
使用动态规划法，重点在于做状态转移时dp数组的含义。

二、动规法求解0-1背包

1.解题思路

根据之前的分析，可以知道最重要的是要明白dp数组的含义。在0-1背包中，是指将0-i的物体放入容量为j的背包中。

状态转移：每一轮如果不放物品i，背包的最大价值为;

放入物品i，则是最大容量减去物品i的容量所余容量可放的最大价值，加上物品i的价值

最大价值则是每一步的最优解的集合，即

2.具体代码

代码如下：

int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) {
    int dp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int w = 0; w <= W; w++) {
            if (i == 0 || w == 0)
                dp[i][w] = 0;
            else if (wt[i - 1] <= w)
                dp[i][w] = max(val[i ] + dp[i - 1][w - wt[i - 1]], dp[i - 1][w]);
            else
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
        }
    }
    return dp[n][W];
}