算法分析——Perm算法

目录


前言

Perm算法是一种解决全排列问题的思想,它是递归的一个实例。


一、递归算法

一个直接或间接地调用自身的算法成为递归算法。递归算法有两个基本组成元素:递归方程(一个使用函数自身给出定义的函数)和边界条件

 在合并排序和快速排序一问中,我总结了分治策略在大规模问题中的引用。递归算法与分治策略都是将分体划分后重复调用并求解的过程,区别在于递归算法是已知问题的结果和边界条件;分治法是已知问题的中间过程,再逐步将问题划分并求解。

二、Perm算法

1.全排列问题

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

全排列数:f(n)=n! (0!=1)

使用Perm算法解决全排列问题的代码如下:

template <class Type>
void Perm(Type list[],int k,int m){
    if(k==m){
        for(int i=0;i<=m;i++)
            cout<<list[i];
        cout<<endl;
    }
    else
    for(int i=k;i<=m;i++){
        Swap(list[k],list[i]);
        Perm(list,k+1,m);
        Swap(list[k],list[i]);
    }
}

template <class Type>
inline void Swap(Type &a,Type &b){
    Type temp=a;
    a=b;
    b=temp;
}

在排列一个长度为n的数组时,依次让每个元素成为数组的“头部”,对其他n-1个元素进行全排列,待排元素数为1时,直接输出结果。为了方便,设置参数k、m,令它们分别指向待排数组首尾,通过增减k、m移动指针。需要注意的是,每一次完成交换list[p]和list[i]的排序后,都需要把它们再次交换到原位后再进行下一次排列。

Perm算法时间复杂度为O(n!),在实际问题中,根据条件的不同全排列问题还有许多优化解法。

2.全排列问题的其他解法

(1)Johnson-Trotter算法

Johnson-Trotter算法并未提高代码运行的时间复杂度,但是它不需要将多余的遍历信息压栈,降低了空间复杂度。

Johnson-Trotter算法icon-default.png?t=N7T8http://【如何优雅地生成全排列——4分钟看懂【Johnson-Trotter全排列生成算法】】 https://www.bilibili.com/video/BV1XY411E7kz/?share_source=copy_web&vd_source=0cecc0fc0417017001dd525fe8051adb

(2)回溯算法解决全排列

leetcode相关例题的讲解非常清楚,附上链接以便后续学习。

回溯算法解决全排列_leetcodeicon-default.png?t=N7T8http://【46. 全排列 Permutations 【LeetCode 力扣官方题解】】 https://www.bilibili.com/video/BV1oa4y1v7Kz/?share_source=copy_web&vd_source=0cecc0fc0417017001dd525fe8051adb


总结

以上就是关于Perm算法解决全排列的所有内容。

### 关于蛮力法的核心概念 蛮力法是一种简单而直接的解决问题的方法,通常通过枚举所有可能的情况来找到解决方案。这种方法虽然计算量较大,但在某些情况下能够提供可靠的解法[^1]。 在算法设计与分析领域,蛮力法的思想可以概括为:对于给定的问题,尝试所有的可能性并从中筛选出满足条件的结果。尽管该方法的时间复杂度较高,但它具有通用性强的特点,在一些小型问题或者作为其他优化算法的基础时非常有用[^2]。 --- ### 头歌平台中的蛮力法示例解析 #### 示例 1:旅行商问题 (TSP) 在一个典型的旅行商问题中,假设存在 \(n\) 个城市以及它们之间的距离矩阵,则目标是最短路径使得每个城市恰好访问一次并返回起点。采用蛮力法解决此问题的方式如下: ```python import itertools def tsp_brute_force(distances): n = len(distances) min_cost = float('inf') best_route = None # 枚举所有可能的城市排列顺序 for perm in itertools.permutations(range(n)): cost = distances[perm[-1]][perm[0]] # 返回到起始城市的成本 # 计算当前排列的成本 for i in range(1, n): cost += distances[perm[i-1]][perm[i]] # 更新最小成本和最佳路线 if cost < min_cost: min_cost = cost best_route = perm return best_route, min_cost ``` 上述代码展示了如何利用 Python 的 `itertools` 库生成所有可能的城市序列组合,并逐一评估每条路径的总长度以寻找最优解。这种实现方式完全遵循蛮力法的原则——穷尽所有选项。 需要注意的是,随着城市数量增加,所需运算次数呈指数级增长 (\(O(n!)\)),因此仅适用于规模较小的数据集[^3]。 --- #### 示例 2:字符串匹配 另一个经典的蛮力法应用案例是模式串在主串内的查找操作。以下是基于逐字符比较完成这一任务的具体实现: ```c++ #include <iostream> #include <string> using namespace std; int brute_force_search(const string& text, const string& pattern) { int n = text.length(); int m = pattern.length(); // 遍历主串中的每一个位置 for(int i = 0; i <= n - m; ++i){ bool match = true; for(int j = 0; j < m; ++j){ if(text[i+j] != pattern[j]){ match = false; break; } } if(match){ return i; // 找到了第一个匹配的位置 } } return -1; // 如果未发现任何匹配项则返回负数表示失败 } int main(){ cout << brute_force_search("hello world", "world") << endl; } ``` 这里定义了一个函数用于检测子串是否存在及其首次出现索引值。它依次滑动窗口直至定位成功为止。同样地,由于每次都需要重新扫描剩余部分,所以整体性能表现为线性关系即 O((n-m+1)*m)[^4]。 --- ### 总结 综上所述,蛮力法作为一种基础却重要的技术手段被广泛应用于计算机科学之中。尽管它的效率较低,但对于理解更高级别的优化技巧而言至关重要。此外,当面对那些难以建模或缺乏有效近似方案的实际场景下,仍然不失为一种可行的选择。
评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值