全排列算法详解：Perm、Johnson-Trotter与回溯-优快云博客

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前言

Perm算法是一种解决全排列问题的思想，它是递归的一个实例。

一、递归算法

一个直接或间接地调用自身的算法成为递归算法。递归算法有两个基本组成元素：递归方程（一个使用函数自身给出定义的函数）和边界条件。

在合并排序和快速排序一问中，我总结了分治策略在大规模问题中的引用。递归算法与分治策略都是将分体划分后重复调用并求解的过程，区别在于递归算法是已知问题的结果和边界条件；分治法是已知问题的中间过程，再逐步将问题划分并求解。

二、Perm算法

1.全排列问题

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

全排列数： $f(n)=n! (0!=1)$

使用Perm算法解决全排列问题的代码如下：

template <class Type>
void Perm(Type list[],int k,int m){
    if(k==m){
        for(int i=0;i<=m;i++)
            cout<<list[i];
        cout<<endl;
    }
    else
    for(int i=k;i<=m;i++){
        Swap(list[k],list[i]);
        Perm(list,k+1,m);
        Swap(list[k],list[i]);
    }
}

template <class Type>
inline void Swap(Type &a,Type &b){
    Type temp=a;
    a=b;
    b=temp;
}

在排列一个长度为n的数组时，依次让每个元素成为数组的“头部”，对其他n-1个元素进行全排列，待排元素数为1时，直接输出结果。为了方便，设置参数k、m，令它们分别指向待排数组首尾，通过增减k、m移动指针。需要注意的是，每一次完成交换list[p]和list[i]的排序后，都需要把它们再次交换到原位后再进行下一次排列。

Perm算法时间复杂度为 $O(n!)$ ，在实际问题中，根据条件的不同全排列问题还有许多优化解法。