旋转卡壳——凸多边形最小面积外接矩形

凸多边形最小面积外接矩形

给定一个凸多边形 P ， 面积最小的能装下 P （就外围而言）的矩形是怎样的呢？ 从技术上说， 给定一个方向， 能计算出 P 的端点并且构由此造出外接矩形。 但是我们需要测试每个情形来获得每个矩形来计算最小面积吗？ 谢天谢地， 我们不必那么干。

对于多边形 P 的一个外接矩形存在一条边与原多边形的边共线。

上述结论有力地限制了矩形的可能范围。 我们不仅不必去检测所有可能的方向， 而且只需要检测与多边形边数相等数量的矩形。 

图示上述结论： 四条切线（红色）， 其中一条与多边形一条边重合， 确定了外接矩形（蓝色）。

一个简单的算法是依次将每条边作为与矩形重合的边进行计算。 但是这种构造矩形的方法涉及到计算多边形每条边端点， 一个花费 O(n) 时间（因为有 n 条边）的计算。 整个算法将有二次时间复杂度。

一个更高效的算法已经发现。 利用旋转卡壳， 我们可以在常数时间内实时更新， 而不是重新计算端点。
实际上， 考虑一个凸多边形， 拥有两对和 x 和 y 方向上四个端点相切的切线。 四条线已经确定了一个多边形的外接矩形。 但是除非多边形有一条水平的或是垂直的边， 这个矩形的面积就不能算入最小面积中。
然而， 可以通过旋转线直到条件满足。 这个过程是下属算法的核心。 假设按照顺时针顺序输入一个凸多边形的 n 个顶点。

1. 计算全部四个多边形的端点， 称之为 xminP， xmaxP， yminP， ymaxP。
2. 通过四个点构造 P 的四条切线。 他们确定了两个“卡壳”集合。
3. 如果一条（或两条）线与一条边重合， 那么计算由四条线决定的矩形的面积， 并且保存为当前最小值。 否则将当前最小值定义为无穷大。
4. 顺时针旋转线直到其中一条和多边形的一条边重合。
5. 计算新矩形的面积， 并且和当前最小值比较。 如果小于当前最小值则更新， 并保存确定最小值的矩形信息。
   
6. 重复步骤4和步骤5， 直到线旋转过的角度大于90度。
7. 输出外接矩形的最小面积。

因为两对的“卡壳”确定了一个外接矩形， 这个算法考虑到了所有可能算出最小面积的矩形。 进一步， 除了初始值外， 算法的主循环只需要执行顶点总数多次。 因此算法是线性时间复杂度的。

一个相似但是鲜为人知的问题是最小周长外接矩形问题。 有趣的是这两个问题是完全不同的问题， 因为存在（尽管极少）最小面积外接矩形和最小周长外接矩形多边形不重合的多边形。

 

 

原文地址：http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/maer.html

 

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