最长上升子序列问题

题目描述：

• 又有一长为n的数列：$a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$.求出这个序列中最长的上升子序列长度。上升子序列指的是对于任意$i<j$都满足$a_i<a_j$。

限制条件：

• $i\le n\le 1000$
• $0\le a_i\le 1000000$

题解：

动态规划：

• 步骤：
  • dp数组含义：$dp[i]$=以$a_i$为结尾的最长上升子序列的长度。
  • 初始条件：$dp[0]$不使用 $dp[1]=1$
  • 递推公式：dp[i]=max{1,dp[j]+1∣j&lt;i且aj&lt;ai}dp[i]=max\{1,dp[j]+1|j&lt;i且a_j&lt;a_i\}dp[i]=max{1,dp[j]+1∣j<i且aj​<ai​}
  • 结果：max{dp[i]∣1&lt;=i&lt;=n}max\{dp[i]|1&lt;=i&lt;=n\}max{dp[i]∣1<=i<=n}
• 时间复杂度 ：$O(n^2)$
• 代码 ：函数 $solve1()$

优化算法：

• 根据上面$dp$数组的含义，我们知道上面$dp$数组主要记录了两个信息：$i$表示$a_i,dp$数组里面存的是长度。我要优化该算法就必须从这个两个方向入手。我们知道在长度相同的上升序列中末尾元素越小越好,基于这个想法我们得到下面的动态规划：
• 步骤：
  • dp数组含义：$dp[i]$=长度为i的上升子序列中末尾元素的最小值，如果长度i不存在就记为$inf$(无穷大)
  • 初始化：$dp[0]$不使用， dp[1-n]=inf
  • 递推公式：循环整个数列的每个元素$a_i$，对每个元素$a_i$循环$dp$数组，找到第一个大于$a_i$的$dp[j]$,更新$dp[j]=min{a}_i,dp[j]$
  • 时间复杂度：$O(n^2)$
  • 可以进一步优化，因为对于每个$a_i$循环$dp$数组时$dp$数组时单调递增的，所有我们查找$dp[j]$可以使用二分查找法，这样时间复杂度变为: $O(nlo{g}_{2}n)$
  • 结果：最大的不为inf的dp数组下标。
• 代码 ：函数 $solve2()$

代码：

#include <iostream>
#define Max_N   1005
#define Inf 1000000

using namespace std;

int n;
int a[Max_N];
int dp[Max_N];


//基本动态规划
void solve1()
{
    //初始化
    dp[1]=1;
    //递推
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
            if (a[i]>a[j])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    }
    //结果
    int res=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(res<dp[i])
            res=dp[i];
    cout<<res<<endl;

}

//优化动态规划
void solve2()
{
    //初始化
    for(int i=1; i<=n; i++)
        dp[i]=Inf;
    //递推
    for(int i=1;i<=n;i++)
        *lower_bound(dp+1,dp+n+1,a[i])=a[i];
    //结果
    cout<<(lower_bound(dp+1,dp+n+1,Inf)-dp-1)<<endl;


}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    solve1();
    solve2();
    return 0;
}
/*
5
4 2 3 1 5
*/

二分查找函数：

• lower_bound(first, last,val)算法返回一个非递减序列[first, last)中的第一个大于等于值val的位置(指针)。
• upper_bound(first, last,val)算法返回一个非递减序列[first, last)中的第一个大于值val的位置(指针)