多重部分和问题

题目描述：

• 有$n$中大小不同的数字$a_i$,每种数字$m_i$，判断是否可以从这些数字之中选出若干使它们的和恰好为$K$。

限制条件：

• $1\le n\le 100$
• $1\le a_i,m_i\le 100000$
• $1\le K\le 100000$

题解：

一般动态规划：

• 步骤：
  • dp数组含义：$dp[i][j]$=用前$i$种数字是否能拼成$j$
  • 初始条件：$dp[0][1-K]=False;dp[0-n][0]=Ture$
  • 递推公式：dp[i][j]={∃dp[i−1][j−k×ai]为真∣0≤k≤mi&k×ai≤j}dp[i][j]=\{∃ dp[i-1][j-k×a_i ]为真|0≤k≤m_i \& k×a_i≤j\}dp[i][j]={∃dp[i−1][j−k×ai​]为真∣0≤k≤mi​&k×ai​≤j}
  • 递推方向：从上向下
  • 结果：$dp[n][K]$是否为真
• 时间复杂度 ：$O(K{\sum }_i{m}_i)$
• 代码 ：函数 $solve1()$

优化动态规划：

• 上面的动态规划的优化方向：
  • 第一： dp数组中只存取bool型结果会有不少浪费，可以用来存取更有效的信息
  • 第二:我们递推只使用用了从上到下的递推方向，我们可能可以使用左到右的递推方向来辅助
• 步骤：
  • dp数组含义：$dp[i][j]$=用前$i$种数字是拼成$j$,第i种数字最多剩余多少个，如果拼不成j就令其为-1
  • 初始条件：$dp[0][1-K]=-1;dp[0][0]=0,dp[1-n][0]=m_i$
  • 递推公式：$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}{m}_i& dp[i-1][j]\ge 0\\ -1& j<a_{i}ordp[i][j-a_i]\le 0\\ dp[i][j-a_i]-1& 其他\end{array}$$
  • 递推方向：从上向下,从左到右
  • 结果：$dp[n][K]$是否为真
• 时间复杂度 ：$O(nK)$
• 代码 ：函数 $solve2()$

代码：

#include <iostream>
#define Max_N   105
#define Max_K   100005
using namespace std;

int n,K;
int a[Max_N],m[Max_N];
bool dp[Max_N][Max_K];
int Dp[Max_N][Max_K];
int DP[Max_K];

//基本动态规划
void solve1()
{
    //初始化
    for(int i=1; i<=K; i++)
        dp[0][i]=false;
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dp[i][0]=true;
    //递推
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=K; j++)
            for(int k=0; k<=m[i]&&k*a[i]<=j; k++)
                dp[i][j]|=dp[i-1][j-k*a[i]];
    //结果
    if(dp[n][K])
        cout<<"Yes"<<endl;
    else
        cout<<"NO"<<endl;
}
//优化动态规划
void solve2()
{
    //初始化
    for(int i=1; i<=K; i++)
        Dp[0][i]=-1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        Dp[i][0]=m[i];
    Dp[0][0]=0;
    //递推
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=K; j++)
        {
            if(Dp[i-1][j]>=0)
                Dp[i][j]=m[i];
            else if(j<a[i]||Dp[i][j-a[i]]<=0)
                Dp[i][j]=-1;
            else
                Dp[i][j]=Dp[i][j-a[i]]-1;
        }

    if(Dp[n][K]>=0)
        cout<<"YES"<<endl;
    else
        cout<<"NO"<<endl;
}

//内存优化，数组从用
void solve3()
{
    for(int i=1; i<=K; i++)
        DP[i]=-1;
    DP[0]=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=K; j++)
        {
            if(DP[j]>=0)
                DP[j]=m[i];
            else if(j<a[i]||DP[j-a[i]]<=0)
                DP[j]=-1;
            else
                DP[j]=DP[j-a[i]]-1;
        }
    if(DP[K]>=0)
        cout<<"YES"<<endl;
    else
        cout<<"NO"<<endl;
}

int main()
{
    cin>>n>>K;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i]>>m[i];
    solve1();
    solve2();
    solve3();
    return 0;
}
/*
3 17
3 3
5 2
8 2
*/