2、深入理解Z变换：原理、应用与数字系统建模

深入理解Z变换：原理、应用与数字系统建模

1. 引言

在信号处理领域，我们常常会遇到离散时间域信号的数学表达式。那么，为什么要将其转换到另一个域呢？时间 - 频率变换的主要原因在于，许多数学简化在一个域中比在另一个域中要容易得多。数字域中的Z变换与模拟域中的拉普拉斯变换相对应。Z变换是分析数字序列稳定性、设计稳定数字滤波器以及将数字信号处理操作与模拟域中相应数学运算联系起来的极其有用的工具。

2. 信号与系统基础

所有信号，包括数字信号和模拟信号，都可以用图1所示的一般波形的和来描述。其中，复频率 $s = \sigma + j\omega$，实部 $\sigma$ 表示信号的阻尼。当 $\sigma = 0$ 时，是稳态正弦波；当 $\sigma < 0$ 时，是指数衰减正弦波；当 $\sigma > 0$ 时，指数增长正弦波是不稳定的，因为其幅度最终会变为无穷大。随时间改变电平的信号可以用不同时间段内稳定和不稳定复指数的分段和来数学描述。

线性系统是一种改变输入信号幅度和/或相位（时间延迟），以产生与输入信号频率相同的输出信号的算子，且与输入信号的幅度、相位或频率内容无关。线性系统可以是色散的，即某些频率通过它们的速度比其他频率快。由于输入信号类型有无数种，我们关注一种特殊的输入信号类型——脉冲。脉冲波形在所有频率（包括0Hz，即直流电）上具有相同的能量水平，并且可以精确重现。对于数字波形，数字脉冲只有一个非零样本。线性系统对标准脉冲输入的响应称为系统脉冲响应，它是系统在零初始条件下对狄拉克δ函数（或数字域中单位幅度等效函数）的响应。线性系统的脉冲响应是唯一的，并且可以从其模拟或数字域变换中提取大量关于系统的有用信息。