12、数值微分与线性规划：理论、方法与应用

数值微分与线性规划：理论、方法与应用

1. 数值微分方法概述

数值微分旨在估算函数的导数，主要有两类数值方法。首先是基于泰勒定理推导的方法，可得出二点、三点和五点公式来计算函数 ( f = f(x) ) 在任意点 ( x ) 处的一阶导数。这些公式都依赖参数 ( h ) 来确定 ( x ) 附近需计算函数值的点。

例如，在使用这些公式时， ( h ) 的选择至关重要。不同的 ( h ) 值会显著影响导数估算的准确性。因此，建议在做出最终决策前，使用多个 ( h ) 值进行估算。确定了 ( f’(x) ) 关于 ( f(x) ) 值的公式后，还能以递归方式使用这些公式来估算 ( f’‘(x) ) 及更高阶导数。

然而，二点、三点和五点公式在计算复杂函数的高阶导数时存在局限性。为克服这一问题，引入了基于柯西定理的替代方法。

2. 柯西定理在数值微分中的应用

柯西定理虽涉及复数运算，需要有相应的计算机软件支持，但在估算高阶导数方面有其优势。该方法将问题转化为积分计算，从而能利用已有的积分计算方法。

其主要问题在于要在复平面上找到以所求导点为圆心、函数在其中解析的圆。具体做法是使用多个半径 ( r ) 进行积分计算，直到确保结果在该圆内。

以下是不同 ( r ) 值下 ( f(x) = \frac{e^x}{\sin^3 x + \cos^3 x} ) 在 ( x = 0 ) 处的高阶导数的柯西估计结果：
| ( r ) | ( f’(0) ) | ( f’‘(0) ) | ( f’‘’(0) ) | ( f^{(iv)}(0) ) | ( f^{(v)}(0) ) |
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