11、数值微分方法全解析

数值微分方法全解析

1. 数值微分概述

数值微分旨在估算函数 (f = f(x)) 的导数。在某些情况下，解析求导困难或无法实现，数值微分就派上用场。不过，它不适用于仅在特定点有值的函数。若函数精确形式未知，可通过最小二乘法或样条逼近构造近似函数，再用其估算导数，这样能全局把握函数，比逐段插值法更准确。同时，若用微分学规则能轻松求出导数表达式，就没必要用数值微分，但为验证方法，示例函数多为可解析求导的类型。

数值微分方法主要分两类：一是基于待估导数点附近的函数值推导公式，如二点、三点和五点公式；二是将求导问题转化为积分求值问题。

学习后可掌握以下技能：
- 识别适合用数值微分而非解析微分的情况。
- 理解二点、三点和五点公式的推导过程。
- 运用这些公式估算一阶及高阶导数。
- 明白如何用柯西定理将求导问题转化为积分问题以获取导数估算值。

2. 从泰勒定理出发

数值分析常以泰勒定理为起点。对于在区间 ([a,b]) 上连续且有连续导数的函数 (f)，在区间内任意点 (x) 和 (x + h) 有如下公式：
[
\begin{align }
f(x + h) &= f(x) + hf’(x) + R_1\
f(x + h) &= f(x) + hf’(x) + \frac{h^2}{2!}f’‘(x) + R_2\
&\cdots\
f(x + h) &= f(x) + hf’(x) + \frac{h^2}{2!}f’‘(x) + \cdots + \frac{h^m}{m!}f^{(m)}(x)