1、无标度随机图的数学成果

无标度随机图的数学成果

在当今世界，大规模真实网络的研究成为了一个热门领域，如互联网、生物分子网络等。这些网络的特性建模通常借助随机图来实现。本文将深入探讨无标度随机图的相关数学成果，涵盖经典随机图模型、多种无标度模型以及它们的性质。

1. 研究背景与分类

近年来，大规模真实网络的研究备受关注，而随机图成为了建模这些网络性质的重要工具。研究工作大致可分为以下几类：
1. 直接研究真实网络，测量其度分布、直径、聚类等性质。
2. 基于研究提出新的随机图模型。
3. 对新模型进行计算机模拟，测量其性质。
4. 对新模型进行启发式分析，预测其性质。
5. 对新模型进行严格的数学研究，证明相关定理。

目前，大部分工作集中在前三类，严格的数学研究相对较少。本文将着重介绍一些数学研究成果。

2. 经典随机图模型

经典随机图理论由Erdős和Rényi在20世纪50年代末至60年代初开创。他们从概率的角度研究图，将图不变量视为随机变量。以下是几种经典的随机图模型：
- $G_{n,M}$模型 ：包含所有具有$n$个顶点和$M$条边的图，每个图的概率相等。当$M$随$n$变化时，图的结构会发生突然变化。例如，当$M_{\omega}=\frac{n}{2}(\log n + \omega)$，若$\omega \to -\infty$，典型的$G_{n,M_{\omega}}$是不连通的；若$\omega \to \infty$，则是连通的。
- $G_{n,p}$模型 ：在$n$个顶点的图中，每条边以概率$