35、规则与无序谢尔宾斯基地毯上的异常扩散研究

规则与无序谢尔宾斯基地毯上的异常扩散研究

1. 规则谢尔宾斯基地毯上的随机游走

在真实材料中的扩散过程可以通过在深度为 s 的迭代器上进行随机游走来建模。随机游走者在每个时间步都处于一个黑色子方块上，并以一定概率移动到相邻的黑色子方块。如果两个子方块共用一条边，则称它们为相邻。我们也可以将迭代器表示为一个图，把顶点置于黑色方块的中点，若对应的子方块相邻，则用边连接顶点，然后在这个图上进行随机游走。

在规则晶格中，随机游走者在每个时间步可以以转移概率 Γji 移动到其 4 个相邻位置之一，或者以 Γii 的概率停留在当前位置 i，且所有相邻位置的转移概率之和为 ∑j Γji = 1 - Γii，通常 Γji = 1/4，此时 Γii = 0。

但在分形晶格中，游走者只能移动到允许的相邻位置。关于随机游走者的移动规则，文献中主要有两种模型：“迷宫中的盲蚁”和“近视蚁”模型。
- 盲蚁模型 ：每个相邻位置 j 被选中的转移概率均为 Γji = 1/4。若选中的位置属于底层生成器中的黑色方块，游走者就移动到该位置；否则，停留在当前位置。
- 近视蚁模型 ：游走者只能向前看一步，仅在允许的相邻位置中选择下一个移动方向。例如，若一个位置有三个相邻位置，向其中一个方向移动的转移概率为 Γji = 1/3，停留的转移概率为 0，因为 ∑j Γji = 1。

随机游走维度 dw 可通过模拟大量随机游走，估计均方位移 ⟨r2(t)⟩ 随时间的变化来计算。在对应的对数 - 对数图中，若呈现直线，则 ⟨r2(t)⟩ 随时间呈幂律行为。拟合直线的斜率可得到扩散指数 γ，进而通过相关公式得到随