7、具有无限矩的随机过程

具有无限矩的随机过程

在概率和随机过程的研究中，具有无限矩的随机过程是一个独特且重要的领域。这类过程挑战了我们对传统概率分布和随机行为的认知，下面将详细探讨几种具有无限矩的随机过程及其相关特性。

1. 圣彼得堡悖论

概率理论早期就遇到了具有无限矩的随机过程，这就是著名的圣彼得堡悖论。该问题由尼古拉·伯努利提出，出现在皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫尔1708年的概率著作《机会游戏分析随笔》中。问题看似简单，是要确定一个机会游戏的公平赌注。游戏规则是抛硬币，直到出现正面为止。第一次抛就出现正面的概率是1/2，收益为1枚硬币；序列“TH”出现的概率是1/4，收益为2枚硬币；在第一次正面之前有N个反面的序列“T···TH”，其概率为(1/2)^(N + 1)，收益为2^N。通常，人们会将赌注设定为获胜概率分布的均值（即期望值）。期望收益为：
[
\sum_{N = 0}^{\infty} 2^N \left(\frac{1}{2}\right)^{N + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty
]
银行家希望玩家下注无限多的硬币，因为这是他的预期损失。但玩家反驳说，要赢得无限多的钱，他必须抛无限次硬币，这在物理上是不可能的。而且，玩家的中位数收益只有1枚硬币，有3/4的概率他会赢得2枚或更少的硬币，有7/8的概率他会赢得4枚或更少的硬币，等等。问题在于人们试图确定一个没有特征大小的分布的特征大小。从数学上讲，获胜硬币的分布没有问题，它被归一化为1，并且显示出以2为底数量级的收益增加伴随着以2为底数量级的概率减少的缩放特性。为了具有缩放特性，不应出现特征大小，因此无限矩是可以预期的。

2. 霍尔茨