19、数字信号处理中的随机变量与随机过程

数字信号处理中的随机变量与随机过程

1. 误差概率估计与模拟时长问题

在数字通信领域，精确估计误差概率是一项重要任务。若要以10%的精度和70%的置信水平来估计误差概率，就需要观测到大约一百个误差事件。这意味着估计工作必须在长度约为100 / p的序列上进行，其中p为误差发生的概率。

例如，当期望的误差概率p的数量级为10⁻⁵时，所需的序列长度N就达到了10,000,000。即便使用高性能计算机，如此长的序列也会导致模拟时间大幅增加，这是数字通信领域中常见的难题。

2. 均匀量化

2.1 均匀量化的基本原理

均匀量化是一种将连续信号离散化的重要方法。N位均匀量化操作是把区间(-A, +A)划分为2ᴺ个等长的子区间，每个子区间的长度q = 2A / 2ᴺ，q被称为量化步长。

当进行量化操作时，每个样本X会被关联到它所属子区间的N位编码数字。而在信号重构时，这个编码数字会被替换为该子区间的中值。若X表示待量化的样本，Y表示重构后的值，则有：当kq ≤ X < (k + 1)q时，Y = kq + q / 2。

通常，模数转换器（ADCs）会使用补码二进制编码来表示量化后的样本。编码取值范围在 - 2ᴺ⁻¹到 + 2ᴺ⁻¹ - 1之间，其中N为编码所用的位数。

2.2 量化噪声

由于量化操作，“真实”值和重构值之间会存在差距，这个差距c = X - Y被称为量化噪声，此时可表示为X = Y + c。量化操作相当于添加了一个功率为E{c²}的噪声。

虽然可以通过X的概率分布来确定c的概率分布，但在很多情况下，假设c是在区间(-q /