13、概率视角下的对偶监督学习：原理、算法与应用

概率视角下的对偶监督学习：原理、算法与应用

在机器学习领域，结构对偶性不仅可以从重建角度理解，还能从概率视角进行阐释。本文将详细介绍基于不同概率方程的对偶学习算法，特别是对偶监督学习，包括其原理、算法以及在多个领域的应用。

对偶学习算法概述

从概率角度来看，结构对偶性可引出多种对偶学习算法，主要包括：
- 对偶监督学习：利用联合概率约束，增强从有标签数据中的学习效果。
- 对偶推理：在推理过程中借助条件概率约束。
- 对偶半监督学习：利用边际概率约束，从无标签数据中学习。

对偶监督学习的联合概率原理

在监督学习场景下，我们考虑如何利用结构对偶性提升从有标签数据的学习效果。首先定义一些符号：
- 原始任务：以空间 (X) 中的样本为输入，映射到空间 (Y)，学习条件分布 (P(y|x; \theta_{XY}))，由参数 (\theta_{XY}) 确定，其中 (x \in X)，(y \in Y)。
- 对偶任务：以空间 (Y) 中的样本为输入，映射到空间 (X)，学习条件分布 (P(x|y; \theta_{YX}))，由参数 (\theta_{YX}) 确定。

对于任意 (x \in X)，(y \in Y)，联合概率 (P(x, y)) 有两种等价计算方式：(P(x, y) = P(x)P(y|x) = P(y)P(x|y))。若两个模型 (\theta_{XY}) 和 (\theta_{YX}) 完美，则其参数化的条件分布应满足等式：
[P(x)P(y|x; \theta_{XY}) = P(y)P(x|y; \theta_{YX}), \forall x \in X,