11、极小值的存在性与连续性：变分与流形表示的拓展

极小值的存在性与连续性：变分与流形表示的拓展

1. 流与变分形度量的差异

在处理曲线和形状时，流（currents）和变分形（varifolds）的度量有着明显的区别。流的度量由一个特定的核定义，该核相对于切向数据是线性的。这种线性性质使得流的度量对噪声具有很强的鲁棒性。例如，对于一条有噪声的曲线 (X) 和一条光滑曲线 (Y)，从流的角度看，(\mu_X \approx \mu_Y)。然而，这种线性也存在缺点，它无法捕捉像尖锐的刺或尾巴这样的结构。

与流不同，变分形在处理有噪声的曲线时，其对曲线长度的度量可能会有很大差异。如在上述例子中，变分形会认为 (X) 的长度大约是 (Y) 的两倍，不再能像流那样进行近似。这种差异将对它们驱动生长映射演化的重构方式产生重要影响。

2. 变分形和流表示在叶状形状上的拓展

2.1 生长映射演化（GME）形状的叶状结构与空间正则性

生长动态可以预测在初始映射 (q_0) 中逐渐创建的新点的位置。在一些例子中，所有坐标最初都设置在 (\mathbb{R}^3) 的一个水平平面上。随着时间 (t) 的推移，单个形状向上移动，新坐标的子集 (X{t} = {x \in X | \tau(x) = t}) 被激活，这些新坐标模拟了新创建的点。

当创建过程规则时，新坐标集 ((X{t})_t) 会在坐标空间 (X) 上定义一个叶状结构。叶状结构在局部看起来像是由较小维度的平行形状（称为叶）组成的并集。在一般的生物坐标空间 ((X, \tau)) 中，叶状结构的存在取决于出生标签 (\tau) 的正则性。

我们考虑一种典型情况，即 (X = [0, 1] \times