8、随机变形与模板不确定性的应用及展望

随机变形与模板不确定性的应用及展望

1. 应用

为了更好地理解随机变形方程，接下来会针对一些经典案例进行详细讲解，涵盖地标点与图像等内容，而像封闭平面曲线、密度或张量场等其他应用则留待后续研究。

1.1 地标点与尖峰子

假设模板流形 $N$ 是 $n$ 个地标点 $q = (q_1, \ldots, q_n) \in \Omega^n$ 的空间，其动量为 $p = (p_1, \ldots, p_n) \in T_q\Omega^n \sim= \Omega^n$。对于这个系统，需要定义一个拉格朗日量，最简单的形式为：
[
l(u, n, \nu) = \frac{1}{2}|u|^2_K + \frac{\lambda^2}{2} \sum_{i = 1}^{n} |p_i|^2
]
其中，第一个范数依赖于核函数 $K(x)$，第二个范数是动量的向量范数乘以常数 $\lambda^2$。在这里，将动量解释为模板变形向量场 $\nu$ 的共轭变量，以便仅用地标点的位置和动量来表示方程。

地标点的哈密顿量为：
[
h_K(p, q) = \frac{1}{2} \sum_{ij} p_i \cdot p_j K(q_i - q_j)
]

变形的哈密顿量为：
[
h(q_i, p_i) = h_K(q, p) + \frac{\lambda^2}{2} \sum_{i = 1}^{n} |p_i|^2
]

随机势函数为：
[
\Phi^u_l (q, p) = \sum_{i} p_i \cdot \s