NOIP 2002 普及组第二题 “选数“ 题解

NOIP 2002 普及组第二题 “选数” 题解

题目描述

已知 (n) 个整数 ($x_1$, $x_2$, \dots, x_n)，以及 1 个整数 (k)（(k < n)）。从 (n) 个整数中任意选 (k) 个整数相加，分别得到一系列的和。例如当 (n = 4, k = 3)，4 个整数分别为 3, 7, 12, 19 时，可得全部的组合与它们的和为：

3 + 7 + 12 = 22
3 + 7 + 19 = 29
7 + 12 + 19 = 38
3 + 12 + 19 = 34
现在，要求你计算和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3 + 7 + 19 = 29。

输入格式
第一行两个空格隔开的整数 n, k$(1\le n\le 20,k<n$）。

第二行 (n) 个整数，分别为$x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$$(1\le x_i\le 5\ast 10^6)$。

输出格式

输出一个整数，表示种类数。

示例
输入

 4 3  
 3 7 12 19

输出

 1

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题目大意

给定n个数，从中选出k个数，求和为质数有多少种情况
$1\le n\le 20,k<n$
$1\le x_i\le 5\ast 10^6$

分析

考虑到$1\le n\le 20,k<n$，本题有两种思路:
① 使用深度优先搜索
② 使用限制数量的子集枚举

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解析

挺水的一道题，还是挺简单的

DFS

本题的数据范围只有20，所以用DFS不会超时。
本题可以看作是一个限制数量的子集枚举，并对每一种可能性求和。首先定义vis数组，表示$x_i$是否出现过。接着定义void dfs(), 并附带一个int m和long long sum。由于本题还要求合，所以光有一个递归层数m是不行的，需要再加上一个sum变量。在每次的递归中，首先确定递归边界，当$m==k$即已经选了k个数时，要判断和是否为质数并记录答案。接着依次遍历$x_i$，记录这个解，进行下一次递归，并撤销这个解。

所以代码就是:

int n, k, ans = 0, a[25];
bool vis[25];
bool isPrime(long long x) {
    if (x < 2) return false;
    for (long long i = 2; i * i <= x; ++i) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
//m 递归次数
//sum 当前的和
void dfs(int m, long long sum) {
    if (m == k && isPrime(sum)) {
        ++ans;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    	if (vis[i]) {
    	    return;
    	}
        vis[i] = 1;
        dfs(m + 1, sum + a[i]);
        vis[i] = 0;
    }
}

运行后，可以看到正常输出了$1$😃

限制数量的子集枚举
没啥好说的，套模板就行

bool isPrime(long long x) {
    if (x <= 2) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i) {
        if (x % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}



int n, k, ans = 0;
cin >> n >> k;
vector<int> a(n + 2);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> a[i];
}
long long sum = 0;
for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (i & (1 << j) && __builtin_popcount(i) == k) {
            sum += a[j];
        }
    }
    if (__builtin_popcount(i) == k) {
        if (isPrime(sum)) {
            ++ans;
        }
        sum = 0;
    }
}

cout << ans;

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总而言之，言而总之，水题，没啥难度