引言
在科学和工程领域，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是描述动态系统行为的重要工具。然而，大多数常微分方程无法通过解析方法求解，尤其是非线性方程和变系数方程。因此，数值解法成为了解决这些问题的关键手段。本文将详细介绍常微分方程的数值解法，包括欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法以及线性多步法，并通过 MATLAB 实现这些方法。
1. 常微分方程的离散化
1.1 初值问题
考虑一阶常微分方程的初值问题：
{ d y d x = f ( x , y ) , a ≤ x ≤ b y ( a ) = y 0 \begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y), & a \leq x \leq b \\ y(a) = y_0 \end{cases} { dxdy=f(x,y),y(a)=y0a≤x≤b
其中， f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 连续且关于 y y y 满足李普希茨条件，即存在常数 L L L，使得：
∣ f ( x , y ) − f ( x , y ‾ ) ∣ ≤ L ∣ y − y ‾ ∣ |f(x, y) - f(x, \overline{y})| \leq L |y - \overline{y}| ∣f(x,y)−f(x,y)∣≤L∣y−y∣
根据常微分方程理论，初值问题的解存在且唯一。
1.2 数值解法的基本思想
数值解法的目标是在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上选取一系列离散点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x N = b a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_N = b a=x0<x1<x2<⋯<xN=b，并求出在这些点上的近似值 y n y_n yn（ n = 1 , 2 , ⋯ , N n = 1, 2, \cdots, N n=1,2,⋯,N）。步长 h n = x n + 1 − x n h_n = x_{n+1} - x_n hn=xn+1−xn 通常取为常数 h h h。
1.3 离散化方法
1.3.1 差商近似导数
用向前差商近似导数：
y ( x n + 1 ) − y ( x n ) h ≈ f ( x n , y ( x n ) ) \frac{y(x_{n+1}) - y(x_n)}{h} \approx f(x_n, y(x_n)) hy(xn+1)−y(xn)≈f(xn,y(xn))
化简得：
y ( x n + 1 ) ≈ y ( x n ) + h f ( x n , y ( x n ) ) y(x_{n+1}) \approx y(x_n) + h f(x_n, y(x_n)) y(xn+1)≈y(xn)+hf(xn,y(xn))
用 y n y_n yn 代替 y ( x n ) y(x_n) y(xn)，得到向前欧拉公式：
y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn)
1.3.2 数值积分方法
将微分方程两端积分：
y ( x n + 1 ) − y ( x n ) = ∫ x n x n + 1 f ( x , y ( x ) ) d x y(x_{n+1}) - y(x_n) = \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x, y(x)) dx y(xn+1)−y(xn)=∫xn
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
7658
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
