一维前缀和 + 二维前缀和 + 差分の详解（简单易懂）

最新推荐文章于 2025-06-25 23:01:45 发布

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本文详细介绍了前缀和和差分的概念，通过一维和二维前缀和的计算方法，阐述了它们之间的关系，并提供了解决区间修改和查询问题的高效策略。文章通过实例展示了如何利用差分和前缀和解决区间加法问题，以及在二维矩阵中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【引入】

首先给出一个问题：
给定n个数，再给出m个询问，每个询问给出区间Li,Ri和x，要求你在Li到Ri上每一个值都加上x，最后给出一个询问区间L,R的区间和，怎么办？
思考一下:如果暴力，最坏时间复杂度O(n^2)；线段树或者树状数组，时间复杂度O(logn)；而使用差分可以O(n)。

要使用差分，首先我们来谈谈前缀和。

【前缀和】

什么是前缀和？前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。

设b[]为前缀和数组，a[]为原数组，根据这句话可以得到前缀和的定义式和递推式：

	定义式	递推式
一维前缀和	$b[i]=\sum_{j=0}^{i}a[j]$	$b[i]=b[i-1]+a[i]$
二维前缀和

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