线性方程组

最新推荐文章于 2025-08-06 20:35:47 发布

盛寒

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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线性方程组和向量组其实是一回事

我们上一章刚学完向量组，这章的线性方程组算是他的一个具象吧。在向量组的最后一章我们学了向量空间，在那个向量空间里面的形式就是和我们的线性方程组很像的，在线性方程组中系数矩阵乘以未知数等于一个值，若是齐次，则只看系数矩阵，若是非齐次则看增广矩阵。

在一些本质和性质上的理解这两者也差不多，没什么好多说的。

齐次线性方程组

简单来说就是右边都是0，且左边没常数项，那么这个方程组就是齐次的。其系数矩阵乘以自变量矩阵即可表示此方程组。

对于我们这里而言系数矩阵是我们的约束，用于约束我们自变量的值，要满足一个等式。至于到底约束了几个自变量，约束了哪几个自变量，就要看我们系数矩阵的秩了，找出最大线性无关的那几个约束，剩余的就是自由的没有被约束的自变量。

有解的条件

这个的意思数全部的自变量都被约束了，意思就是没有自由变量。因为是满秩的，所以只有这个方程组就只有一种解法能完美符合所有约束，我们观察后可以看到，这个方程组必定符合零解的条件，又因为我们满秩，所有的自变量都被“按死”，只有一种可能取值。因此我们的方程组只有唯一零解。

还有一种情况就是我们的约束没有满秩，这个什么意思呢，就是约束的条件没有包含全部的自变量，出现了可以自由取值的自由变量，自由变量取什么值都行，因此是无穷多解。那么这里的自由变量的个数就是总的列数减去系数矩阵的秩。

总的来说大家在理解这个知识点的时候可以这样理解，这里和我们之前的向量组一样，先化为行阶梯型，处于阶梯上的某一个值所对应的位置就是被约束的位置，被约束的位置无法随意取值，若所有的位置均被约束，对应的是满秩的情况，也就是说这个向量只有一种可能取值满足此约束条件组，我们取零解，正好符合约束条件。还有一种情况就是约束条件约束的位置小于实际的自变量位置（对应秩小于n），那么这样的就一定有自变量没被约束，那么没被约束的自变量可随意取值且显然自由变量的个数为 n-秩。

解的性质

注意这里的第二个类消去律的证明，用到的思想其实很有意思，由于Ax=0只有零解，而A本身不为0，也就是说那么所有和A右乘的值若等于0那么其必然为0，从而的证。这里很灵活的运用了这个式子，所以大家在记忆这个式子的运用时候不要只想的那么浅显，要多深入的思考其本质的内容。

基础解系和解的结构

求解方法和步骤

我们直接看例题来讲解一下这个步骤。

例题

实际上，可以任意取两次自由变量的值来确定其他约束变量，再在前面乘上系数就行了。具体做法如下第二种方法：

这个就是考的之前我说的那个和第二个性质的证明方法很像的思想。对于你对线性方程组有没有一个本质的理解。这个首先正交，我们知道就是向量内积为0，和我们的齐次方程组不谋而合，因此这题其实是在考你Ax=0这个方程组的解是什么。

也就是考我们对题目的翻译解读的能力，也就是说若题目条件可以化为AX=0的形式，且给出了具体的向量内容，那我们都可以用求解齐次线性方程组去解决它。

在正交这个条件满足之后，我们还要注意这题是单位向量。要注意的是正交有正负（上下两个方向），所以其实这题就不能无脑给把解系写上去了，因为我们要找的是解系中的那个单位向量。因此我们的k其实也是确定的。

题目问的是线性无关解的个数，首先这问的就很直白了，直接联想到我们的知识点，个数等于n-r。

然后再看条件，条件是已经给出了n（自变量个数），一个是3一个是2是吧。

那这样的话这题就是要求两个r分别是多少。再看给出的条件是AB的矩阵，那么拿到这个条件，我们首先分析矩阵的性质，这是个什么矩阵？那必然要先求r，我们可以从AB矩阵上看出这应该是个r为2的矩阵，也就是说r（AB）=2，他是个满秩的，还是个方阵，那么也就是说这个矩阵也是可逆的。再从AB上看，我们看到AB，而且要求的还是和秩相关的，那么很容易就能联想到我们的不等式了吧。联想到不等式就想到其对应的一般解法是“夹逼”。顺着这个思路的话我们整个题目的答案就有了。

首先看到A*和A，第一个想到的知识点应该是A*A=|A|E，然后看到这个方程组是有非零解的，也就是说其秩应该小于n。再看我们这里还要求A*x=0的基础解系，既然有这个式子，就说明我们的A*的秩至少是1，那么因为之前我们说过A的秩是小于n的，而A*的秩得大于等于1，很显然只有一种情况了，那就是A*的秩等于1，A的秩等于3。

我们看到A的秩小于n，那么|A|就等于0，那么上面的式子就是A*A=0，看到这里的A*x=0的形式了吧，也就是说A就是其中的一个解，再看A*的秩等于1，那么这个解就应该由3（4-1）个线性无关解构成，那么接下来的任务就是找A中的线性无关的部分。

我们看看题目还给出的一个解系的具体值，这个条件还没用，那么将其带入Ax=0中就得到a1+a3=0，也就是说在A中a1和a3是线性相关的，那么这样的话答案就是D了。

这题问解系，那解系的条件就仨，一个是规定个数的，一个是要线性无关，一个要符合方程。显然这题就是要找线性无关的，因为个数上都是3个，而且我们说性质里面，互相之间的这种加减数乘运算不影响其作为解。所以这三个条件这4个都满足了两个，那就化为线性无关性。

对于这类题目因为我们已经知道那三个是线性无关的了，那么主要就是要看他们的坐标的线性无关性了，这题的话就是把这4个选项的坐标写出来找到那个满秩的矩阵就行了。再简单一点就是把坐标的行列式值算出来不为0的那个就是答案。

非齐次线性方程组

有解的条件

解的性质

求解的方法

其实方法差不多，先求齐次解，然后和之前一样对乘法求特解，只不过求特解的时候多一列增广罢了。

例题

考的是概念

从定义上来看，判断一个方程组是否有解，主要看r（A）和r（A|b）的值。怎么判断他是否有解，主要看其是否相等。那么可以看到又是求秩的关系，在没有给出实际的式子让你求秩，无非就是用那几个式子和性质。

但是实际上这个式子有更深层的含义，假设我们的Ax=b无解，对应的就是说这个b在一个更高的维度上，那么我们该怎么求他的最佳近似解呢？显然就是找到他投影到那个低纬平面上的向量了。

那么该怎么表示这个向量，我们只有b和Ax，将两个相减，组成的新向量（b-Ax）若能和所有的Ax垂直，那么这个时候的x就是对应的我们的投影的情况就是我们要求的时候。翻译一下就是当A（b-Ax）=0的时候，出现的x为垂直投影。由于大小形状对向量乘的影响，我们一般是AT（b-Ax）=0写到这里我们发现这就是我们给出的式子的变形。所以这就是我们条件上式子所表达的深层含义。