AcWing143. 最大异或对

异或

是一种逻辑运算，用于比较两个位（bit），当且仅当两个比较的位不同（一个为0，另一个为1）时，结果为1（真）。如果两个比较的位相同（都是0或都是1），结果为0（假）。在数学符号中，异或通常用符号“⊕”表示。

异或运算的规则如下：

• 0 ⊕ 0 = 0

• 0 ⊕ 1 = 1

• 1 ⊕ 0 = 1

• 1 ⊕ 1 = 0

直接暴力

显然会超时，这是需要考虑把这一步优化:

 

优化图解:

 结论:

字典树不单单可以高效存储和查找字符串集合,还可以存储二进制数字

思路:

将每个数以二进制方式存入字典树,找的时候从最高位去找有无该位的异.

❶建树时，根据输入数字的对应的二进制串构造一个 Trie 树。

❷Trie 树的每个结点两个分支，分支指向的两个son结点分别表示当前位的数值为0或1

❸记录每次输入的数字转化成的二进制串，当前位为1，就走到数值为1的结点，否则走到0结点

❹这样每个数字对应的Trie中的路径就是唯一的。

因为要求异或对的值最大，可以用贪心的思想。

在第一个数字固定的情况下，尽可能地让第二个数的每一位都与第一个数的对应位相反，这样最终确定的第二个数与第一个数的异或值就最大，所以在查询时，遍历第一个串o（n），根据固定的第一个二进制串，每次尽可能走到与当前位的值相反的结点，这样的路径对应的就是与第一个二进制串异或值最大的二进制串，便利了这个数的位数次o（logn），所以总的时间复杂度o（n*logn）；。

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
//保存 Trie 树
int son[N * 31][2];  
int n, idx;

void insert(int x)
{
    int p = 0;//初始化指向根节点
    //从最高位开始，依次取出每一位
    for (int i = 31; i >= 0; i--)
    {   // 取出当前位
        int u = x >> i & 1;
         //如果树中不能走到当前数字
        //为当前数字创建新的节点，保存该数字
        if (!son[p][u])
            // 新节点编号为 idx + 1
            son[p][u] = ++idx; 
        p = son[p][u];
    }
}

int query(int x)
{
    //指向根节点
    int p = 0;
    // 保存与 x 异或结果最大的那个数
    int ret = 0;
     //从最高位开始，依次取出 x 的每一位
    for (int i = 31; i >= 0; i--)
    {
        // 取出 x 的当前位
        int u = x >> i & 1;
        //如果树中能走到 !u，就走到!u
        if (son[p][!u]){
            //走到!u
            p = son[p][!u];
            //更新 x 异或的对象
            ret = ret * 2 + !u;
        }  
        //没有!u，就只能走到u了
        else{
            p = son[p][u];
            //更新 x 异或的对象
            ret = ret * 2 + u; 
        }
    }
    //计算异或结果
    ret = ret ^ x;
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> n;
    int maxXorNum= 0; 
    int x;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> x;
        insert(x);
        maxXorNum = max(maxXorNum, query(x));
    }

    cout << maxXorNum << endl;

    return 0;
}