01背包问题（模板）

（此处借用作者郡呈的图）

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

要点：

搞清楚dp数组的含义，如何推出递推公式，即集合如何划分计算，如何进行初始化，考虑好遍历顺序

 

1.二维dp解决

//二维dp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int dp[N][N];//表示只考虑前i个物品，且总体积不超过j，总价值最大是多少
int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;//物品数量和背包容积。
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)//先遍历物品
    {
        for(int j = 0; j <= m; j ++)//再遍历背包容量，二维dp中两个for遍历顺序可以颠倒
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]; //不选第i个物品
            if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]); //当背包容量>物品体积时，选第i个物品
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

2.一维dp(优化空间）（滚动数组）

实际上就是把 dp[i-1] 拷贝到 dp[i] 上，压缩了状态

//一维dp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int dp[N];//表示背包容量为j，背包价值最大价值是多少

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;//物品数量和背包容积。
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)//先遍历物品
        for(int j = m; j >= v[i]; j --)//再遍历背包容量，一维dp中两个for遍历顺序不可以颠倒,
                                        //倒着遍历保证每个物品只取一次
             dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]); //当背包容量>物品体积时，选第i个物品
        
    
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}