【Python数据结构与算法】（一）基本概念和算法分析_python数据结构与算法分析

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O(mn)

3.3 时间复杂度的判断

常见时间复杂度如下：

O

(

1

)

<

O

(

l

o

g

n

)

<

O

(

n

)

<

O

(

n

l

o

g

n

)

<

O

(

n

2

)

<

O

(

2

n

)

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(2n)

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(2n)，其中

O

(

l

o

g

n

)

=

O

(

l

o

g

2

n

)

O(logn)=O(log_2n)

O(logn)=O(log2​n)

具体的案例说明如下：

• O(1):

print("Hello World")

• O(n):

for i in range(n):
    print('Hello World')

• O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2)

for i in range(n):
    for j in range(n):
        print('Hello World')

注意： 这里的时间复杂度相当于一个单位，因此我们只关注最高阶的情况。例如：

for i in range(n):
    print("Hello World")
    for j in range(n):
        print('Hello World')

上面这个虽然相当于是

n

2

n

n^2+n

n2+n个计算，但是我们记为

O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2)。可以看出一个循环相当于一个n，如果减半呢？

• O

(

l

o

g

n

)

O(logn)

O(logn)

while n > 1:
    print(n)
    n = n//2

此时循环减半，它的复杂度是

O

(

l

o

g

n

)

O(logn)

O(logn)，例如，当n=64时候，打印的输出为：64，32,16,8,4,2.一共六次，等价于

l

o

g

2

64

=

6

log_264=6

log2​64=6。

如何快速判断算法复杂度：

下面介绍最基本情况下如何判断算法复杂度。

• 确定问题规模n
• 如果有循环减半——

l

o

g

n

logn

logn

• k层关于n的循环——

n

k

n^k

nk

主项定理：

上面的方法是判断一些最基本的简单的情况，下面我们介绍一种处理更复杂情况的判断方法：主项定理
假设

a

≥

1

，

b

1

,

f

(

n

)

a\geq1，b>1,f(n)

a≥1，b>1,f(n)为一个函数，

T

(

n

)

T(n)

T(n)由递归式：

T

(

n

)

=

a

T

(

n

b

)

f

(

n

)

T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)

T(n)=aT(bn​)+f(n)

T

(

n

)

T(n)

T(n)的渐进有如下情况：

(1)如果

f

(

n

)

<

n

l

o

g

b

a

f(n)<n^{log_ba}

f(n)<nlogb​a,

T

(

n

)

=

O

(

n

l

o

g

b

a

)

T(n)=O(n^{log_ba})

T(n)=O(nlogb​a)

(2)如果

f

(

n

)

=

n

l

o

g

b

a

f(n)=n^{log_ba}

f(n)=nlogb​a，

T

(

n

)

=

O

(

n

l

o

g

b

a

f

(

n

)

)

T(n)=O(n^{log_ba}f(n))

T(n)=O(nlogb​af(n))

(3)如果

f

(

n

)

n

l

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f

(

n

)

=

n

l

o

g

b

a

f(n)=n^{log_ba}

f(n)=nlogb​a，

T

(

n

)

=

O

(

n

l

o

g

b

a

f

(

n

)

)

T(n)=O(n^{log_ba}f(n))

T(n)=O(nlogb​af(n))

(3)如果

f

(

n

)

n

l

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